Come calcolare la diagonale di un trapezio

Tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La geometria è quella disciplina matematica che studia le forme nel piano e nello spazio e le loro reciproche relazioni. Il termine significa letteralmente "misurazione della terra" e tutti noi ci abbiamo avuto a che fare sin da piccoli a scuola, studiando le figure e calcolando le loro aree o perimetri. Tra i tanti poligoni esistenti, è presente anche il trapezio. In geometria il trapezio è definito come un quadrilatero caratterizzato da due lati paralleli e due lati obliqui.
I due lati paralleli sono chiamati "base maggiore" (indicata comunemente con B), mentre la base minore è indicata con b. Ogni trapezio ha due diagonali, quella minore e quella maggiore, tranne il trapezio isoscele che presenta due diagonali di uguale lunghezza. Con diagonale intendiamo il segmento che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono o di un poliedro. Invece la distanza minore fra i due lati paralleli del trapezio (cioè le due basi) è l'altezza del trapezio. Vediamo allora insieme come calcolare velocemente la diagonale di un trapezio isoscele, rettangolo e scaleno.

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Occorrente

  • Calcolatrice
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Trapezio isoscele

In base alle caratteristiche dei lati obliqui avremo dunque tre tipi di trapezi. Il trapezio isoscele ha i due lati obliqui uguali, per cui anche le due diagonali saranno uguali. In particolare, partendo dalla formula dell’area del trapezio A=((B+b) ×h)/2 è possibile giungere alla formula per il calcolo della diagonale. Per il calcolo della diagonale viene applicato il teorema di Pitagora, per cui in primo luogo calcoliamo la semidifferenza tra la base maggiore e quella minore, ossia d= (B-b)/2.
Ora possiamo applicare il teorema:

D=rad[(h^2) + (B-d)^2] (dove con "rad" intendiamo radice quadrata)

Ricordiamo che h è l’altezza del trapezio, ossia quel segmento che parte dall’angolo opposto alla base maggiore raggiungendola perpendicolarmente creando due angoli retti.

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Trapezio rettangolo

Il trapezio rettangolo si distingue dagli altri tipi di trapezi per la presenza di due angoli rettangoli. Infatti in questo trapezio un lato non è obliquo ma è perpendicolare alle due basi.
In questo caso, dunque, le diagonali sono sempre due, ma diverse. Avremo infatti una diagonale maggiore indicata con D e una diagonale minore indicata con d. Per calcolare le due diagonali si procede così. Bisogna applicare per la diagonale minore le formule relative al teorema di Pitagora; infatti la diagonale minore del trapezio rettangolo equivale alla diagonale di un quadrato o di un rettangolo. Dunque, d=rad[(b^2)+(h^2)]
La diagonale maggiore invece equivale all'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Si applica ancora una volta il teorema di Pitagora: D=rad[(B^2)+(h^2)].

Continua la lettura
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Trapezio scaleno

Infine, un trapezio viene definito scaleno quando i due lati obliqui sono disuguali, come le diagonali.
In questo caso non è dunque possibile utilizzare la semidifferenza nel calcolo delle diagonali ed il procedimento è un po' più lungo e complesso rispetto agli altri due tipi di trapezio.

Le formule per calcolare le diagonali sono le seguenti:

d1=rad{[(bxB^2)-(Bxb^2)-(bxl1^2)+(Bxl2^2)]/(B-b)}

d2=rad{[(bxB^2)-(Bxb^2)-(bxl2^2)+(Bxl1^2)]/(B-b)}.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Arrotonda il tuo risultato per difetto o per eccesso in base all'ultima cifra richiesta dall'esercizio.
  • Il segreto sta nel riportare ogni intersezione di segmenti alle figure di triangoli, e applicare poi le formule relative.
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