Come calcolare la diagonale di un quadrato

Tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

La geometria può essere sia divertente sia noiosa, dipende dalla vostra passione e soprattutto dai trucchetti giusti per eseguire gli esercizi. Una delle prime figure di geometria piana è il quadrato. Viene introdotta come prima figura poiché è il poligono più facile. Esso infatti presenta quattro lati tutti uguali e quattro angoli tutti della stessa ampiezza. Inoltre possiede due diagonali uguali e perpendicolari fra loro. Solitamente negli esercizi è richiesto il calcolo del perimetro, dell'area o della diagonale di questa figura. In questa guida ci occuperemo dell'ultimo punto, ovvero come calcolare la diagonale in un quadrato.

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Occorrente

  • Calcolatrice
  • Conoscenze di trigonometria o geometria piana
  • Foglio e penna
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Segmento

La diagonale è il segmento che congiunge i due vertici opposti del quadrato. Si vede benissimo che il quadrato ne ha due e che sono perpendicolari fra di loro, ovvero incrociandosi formano quattro angoli retti. Per ricavare la diagonale di un quadrato faremo riferimento al teorema di Pitagora. Questo fa riferimento a dei triangoli rettangoli. In questo caso i triangoli rettangoli da considerare sono quelli che vengono fuori dall'unione dei due vertici opposti del quadrato tramite la diagonale. Sono due triangoli equivalenti, quindi sia che vi concentriate su uno, sia sull'altro, il risultato finale non cambierà.

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Teorema di Pitagora

Prendiamo, dunque, in considerazione il teorema di Pitagora, il quale afferma che: in un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (lato opposto all'angolo retto) equivale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti (gli altri due lati del triangolo). Dal teorema possiamo arrivare alla formula che ci permetterà di calcolare il valore della diagonale del quadrato.

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Risultato

Applicando il teorema di Pitagora alla figura, infatti, otteniamo che AC²=AB²+BC². Poiché si tratta di un quadrato, i lati sono tutti congruenti fra loro, dunque AB=BC=lato. Ne deriva che AC²=lato²+lato². Per ottenere la diagonale AC, quindi, basta calcolare la radice quadrata: AC=Ѵ(lato²+lato²)= Ѵ2lato²=latoѴ2. Basandoci su questi passaggi giungiamo alla conclusione che la diagonale del quadrato corrisponde al lato moltiplicato per Ѵ2.

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Trigonometria

Il secondo procedimento per calcolare la diagonale del quadrato prevede una conoscenza base di trigonometria, in quanto si basa sull'applicazione di formule trigonometriche. La trigonometria, infatti, ci dice che, considerando il triangolo rettangolo ABC, il suo cateto corrisponde all'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto o per il coseno dell'angolo adiacente. Il triangolo ABC ha un angolo di 90° e due di 45°. Le formule AB=ACxCos45=ACxSin45, BC=ACxCos45=ACxSin45 sono utili per individuare la misura dei cateti; ma essendo interessati alla misura dell'ipotenusa (ovvero della diagonale) siamo obbligati ad applicare una formula inversa: AC=AB/Cos45=AB/Sin45.

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Esempio

Facciamo un esempio pratico: abbiamo un quadrato con un lato di 4cm. Applichiamo ora entrambi i metodi illustrati per calcolare la diagonale. Basandoci sul primo metodo, dobbiamo moltiplicare il lato per la radice di 2, quindi AC=latoѴ2=4x1,41421=5,67 cm. Utilizzando invece il secondo metodo, dobbiamo dividere il lato per il sin45 o il cos45, quindi AC=lato/cos45=lato/sin45=4/0,70710=5,67 cm.
Come potete notare i risultati coincidono.

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