Come calcolare la derivata direzionale

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Difficoltà: media
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Introduzione

Per gli studenti dei corsi di analisi matematica, materia già di per sé ardua e spesso di difficile comprensione, uno tra gli argomenti più ostici è sicuramente quello del calcolo differenziale o infinitesimale. Esso studia il come si comporta localmente una funzione ed introduce tutti i concetti di derivata, differenziabilità e continuità. Data la sua potenza è spesso usato in tutte le discipline scientifiche, dalla fisica all'ingegneria, passando per la chimica. Un concetto importante è quello della derivata direzionale, molto usata in presenza di superfici curve. Vediamo insieme in questa pratica guida come calcolare la derivata direzionale.

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Occorrente

  • Libro di analisi matematica
  • Calcolatrice
  • Carta e penna
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Innanzitutto occorre fornire i dati di partenza necessari alla risoluzione del problema. In particolare occorre conoscere: la funzione f (x, y), il punto P di coordinate (xp, yp) in cui volgiamo calcolare la derivata direzionale e la direzione data dal versore v (xv, yv). La derivata direzionale è definita come il limite del rapporto incrementale, quindi il limite della differenza tra f (x+hv)-f (x) tutto diviso per l'incremento h, in cui v è il versore che rappresenta la direzione. Questo valore va poi calcolato nel punto P. Tale limite va calcolato per l'incremento h che tende a zero.

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L'uso della definizione e quindi il calcolo di tale limite può essere considerato un primo metodo per il calcolo della derivata direzionale. Talvolta però il calcolo della derivata direzionale a partire dalla sua definizione analitica può risultare scomodo o sconveniente a causa della difficile valutazione del limite. Esiste quindi una strada alternativa che permette di calcolare la derivata direzionale a partire dagli stesi dati iniziali. Tale metodo viene chiamato anche "Teorema sulla derivata direzionale". La prima cosa da fare è quella di calcolare il gradiente della funzione grad (f (x, y)), dato dalle derivate parziali df/dx e df/dy. A questo punto occorre valutare tale gradiente nel punto di nostro interesse P (xp, yp). Otterremo così, nel caso del nostro esempio a due variabili, una coppia di valori.

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Bisognerà quindi procedere applicando il teorema sulla derivata direzionale o la formula del gradiente. Esso afferma che: la derivata direzionale della funzione f (x, y) lungo il versore v (xv, yv) nel punto P (xp, yp) è data dal prodotto scalare tra il gradiente grad (f) valutato nel punto P e il versore v. Per il calcolo quindi non ci resterà che moltiplicare il gradiente ottenuto per il nostro versore v.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ripassate bene i concetti di gradiente, limite e derivata
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