Come calcolare la derivata di una funzione logaritmica

Sappiamo bene che per fare uno studio di funzione dobbiamo per forza calcolare la sua derivata. Finché si studiano le funzioni classiche con l'incognita x e y, pare che gli studenti non abbiano troppi problemi. Quando invece l'incognita diventa un esponente, oppure si hanno funzioni logaritmiche allora tutto si fa più difficile. Spesso anche chi non aveva difficoltà con le derivate inizia ad avere problemi, quando non si hanno ben chiari tutti i concetti. In questa guida cercheremo di semplificare il procedimento, spiegando come calcolare la derivata di una funzione logaritmica, in modo che tutti riescano a capirlo per bene.

• Pregresse conoscenze sui logaritmi
• Pregresse conoscenze sulle derivate

Innanzitutto è bene capire cosa si intende per derivata di una funzione. In realtà il concetto non è così semplice da capire, e sicuramente non è così intuibile. Partiamo dal presupposto che la derivata è una grandezza puntuale. Questo significa che si calcola punto per punto e corrisponde a un numero. Poiché i punti di una funzione sono infiniti, noi calcoliamo in realtà la funzione che associa la tangente ad ogni singolo punto. In pratica indica come la crescita della funzione cambi al variare del suo argomento. Ecco perché è così importante nello studio di funzione.

Per calcolare la derivata di una funzione logaritmica dobbiamo innanzitutto aver chiare le derivate fondamentali. Senza di queste, infatti, non possiamo procedere in nessun modo. Ricordiamoci innanzitutto come calcolare la derivata in base agli esponenti. Ipotizziamo di avere una qualsiasi f (x)=x^s, dove s appartiene ai numeri reali. La derivata sarà pari a f'(x)=sx^(s-1). Di conseguenza la derivata f (x)=x è f'(x)=1, mentre la derivata di una costante f (x)=k è f'(x)=0. Vediamo poi le derivate fondamentali logaritmiche. La derivata di f (x)=a^x è pari a f'(x)=(a^x) ln (a), mentre la derivata di f (x)=e^x è pari a f'(x)=e^x, ovvero rimane invariata. La derivata di f (x)=loga (x) è pari a f'(x)=1/xln (a). Infine, la funzione f'(x)=ln (x) si deriva in f'(x)=1/x.

Naturalmente otre a conoscere le derivate fondamentali dobbiamo conoscere le regole della derivazione, valide per tutti i tipi di funzione, compresa la logaritmica. Vediamo quali sono le principali: 1) La derivata del prodotto di una funzione per una costante equivale al prodotto della derivata della funzione per la costante. Se abbiamo f (x)=2ln (x), la derivata è f'(x)=2/x. 2) La derivata della differenza e della somma di due funzioni equivale alla differenza o alla somma delle due funzioni. La derivata di f (x)=ln (x)+loga (x) è pari a f'(x)=1/x+1/xln (a). 3) La derivata del prodotto di due funzioni equivale alla somma di due prodotti: il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, più il prodotto della prima funzione per la derivata della seconda. Se abbiamo f (x)=loga (x) ln (x) avremo f'(x)=ln (x)/xln (a)+loga (x)/x. 4) Per la derivata del rapporto di due funzioni, abbiamo al nominatore la derivata del numeratore per il denominatore, meno il numeratore per la derivata del denominatore. Al denominatore invece troviamo il denominatore elevato al quadrato. Quindi f (x)=loga (x)/ln (x) sarà f'(x)=[loga (x)/x-ln (x)/xln (a)]/ln^2(x).

• Poichè i punti di una funzione sono infiniti, noi calcoliamo in realtà la funzione che associa la tangente ad ogni singolo punto.

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