Come calcolare la derivata di una funzione goniometrica

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La derivata di una funzione è una parte fondamentale dei programmi di matematica dei licei e un tassello imprescindibile per l'esame di analisi dell'università. Generalmente non si hanno troppi problemi con le funzioni classiche con l'incognita x e y. Con la trigonometria, però, la situazione inizia sempre a complicarsi, e spesso ci si perde. In questa guida spiegheremo come calcolare la derivata prima di una funzione goniometrica.

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Occorrente

  • pregresse conoscenze sulle funzioni goniometriche
  • pregresse conoscenze sulle derivate
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La derivata è una funzione che indica come la crescita di una funzione cambi al cambio del suo argomento. In pratica corrisponde alla tangente della funzione in un determinato punto. Per cui si dice che la derivata è una grandezza puntale, ovvero si calcola punto per punto. È espressa come funzione perché associa ad ogni punto la tangente alla curva descritta dalla funzione di partenza. Mentre la derivata di una funzione in un punto è un valore, ovvero un numero, non un funzione.

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Per calcolare la derivata di una funzione goniometrica il primo passo è avere ben presente le derivate fondamentali. Innanzitutto occorre ricordarsi come vengono derivati gli esponenti. Se abbiamo una qualsiasi funzione f (x)=x^s, dove s appartiene ai numeri reali, f'(x)=sx^(s-1). Ne consegue che la derivata f (x)=x è f'(x)=1 e la derivata di una costante f (x)=k è f'(x)=0. Per il nostro scopo occorre ora vedere le derivate fondamentali di una funzione goniometrica. La f (x)=sin (x) diventa f'(x)=cos (x), mentre f (x)=cos (x) diventa f'(x)=-sin (x). Queste sono le più elementari, mentre andando nello specifico abbiamo le seguenti derivate: tan (x) diventa 1/(cos^2(x)); cot (x) invece -1/(sin^2(x)).

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Ovviamente a queste derivate fondamentali vanno aggiungte le regole della derivazione, valide per ogni tipo di funzione, goniometrica e non. Le principali regole sono le seguenti: 1) La derivata del prodotto di una costante per una funzione è pari al prodotto della costante per la derivata della fuzione. Quindi se abbiamo f (x)=2sin (x), la derivata sarà f'(x)=2cos (x). 2) La derivata della somma o della differenza di due funzioni è pari alla somma o alla differenza delle due funzioni. Quindi la derivata di f (x)=sin (x)+cos (x) è pari a f'(x)=cos (x)-sin (x). 3) la derivata del prodotto di due funzioni corrisponde alla somma del prodotto della derivata della prima funzione per la seconda funzione e il prodotto della prima funzione per la derivata della seconda funzione. Se abbiamo f (x)=sin (x)cos(x) allora f'(x)=cos^2(x)-sin^2(x). 4) Un po' più complicata è la derivata del rapporto di due funzioni. Al nominatore abbiamo la derivata del numeratore per il denominatore, a cui si sottrae il numeratore per la derivata del denominatore. Al denominatore abbiamo invece il denominatore elevato al quadrato. Quindi f (x)=sin (x)/cos (x) sarà pari a [cos^2(x)-sin^2(x)]/cos^2(x).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ricordiamoci che il simbolo "^" significa "elevato"
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