Come calcolare la derivata di una frazione al quadrato

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Difficoltà: media
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Introduzione

Secondo le regole consuetudinarie di derivazione delle funzioni, la derivata del rapporto tra due funzioni A e B, è data da un ulteriore rapporto. Quindi, il numeratore della derivata, è calcolato, dalla differenza tra il prodotto della derivata di A (A') con B (non derivata) ed il prodotto della derivata di B (B') con A (non derivata). Di conseguenza, il denominatore, invece, è dato dalla funzione B al quadrato. Quindi, possiamo dire che, per calcolare la derivata di una frazione al quadrato, conviene elevare, prima al quadrato e poi applicare le regole di derivazione di una frazione. In questa guida, andremo a conoscere più da vicino, questo tipo di derivata e come compiere le operazioni di elevamento al quadrato e scomposizioni di frazioni.

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Primi passi

Il primo passo per poter calcolare la derivata di una frazione al quadrato, è, ovviamente, elevare al quadrato.
Per calcolare il quadrato di una funzione. Innanzitutto, si devono seguire le regole di calcolo esponenziale delle funzioni.
Ad esempio, si prenda la funzione seguente: f (x)=[[(x^2-1)/x]^2]. Ad essa, bisognerà applicare la regola di elevazione al quadrato; di conseguenza, l'espressione diverrà: f (x) = [(x^4-x^2-x^2+1)/x^2] [(x^4 - 2x^2 + 1)/(x^2)]. Come avrete notato, in questo caso, la funzione è data, proprio dal rapporto fra le due funzioni a (x) = (x^2-1) e b (x) = (x).

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Calcolo della derivata

Una volta ricavata la derivata elevata al quadrato, possiamo applicare la regola di derivazione di un rapporto tra due funzioni.
Considerando sempre la funzione data in precedenza e quindi: f (x)=[[(x^2 - 1)/x]^2] = [(x^4 - x^2 - x^2 + 1)/x^2] = [(x^4 - 2x^2 + 1)/(x^2)] ha derivata pari a:
f'(x) = [(4x^3 - 4x)(x^2) - (2x)(x^4 - 2x^2 + 1)/((x^2)^2)] = [((4x^5 - 4x^3) - (2x^5 - 4x^3 + 2x))/(x^4)] = [(4x^5 - 2x^5 - 4x^3 + 4x^3 - 2x)/(x^4)] = [(2x^5 - 2x)/(x^4)].
La formula per calcolare la derivata di una frazione viene qui applicata, infatti, si può notare come f (x), data dal rapporto delle funzioni a (x) = (x^4 - 2x^2 + 1) e b (x) = (x^4) e quindi la derivata come f'(x) = [(a'(x))(b (x)) - (b'(x))(a (x))]/[(b (x))^2].

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Conclusioni

Infine, si può semplificare ulteriormente la funzione, "separando" i due termini del numeratore, utilizzando la regola della scomposizione delle frazioni.
Nella derivata calcolata ciò significa f'(x) = [(2x^5 - 2x)/(x^4)] = [(2x^5)/(x^4)] - [(2x)/(x^4)] = [2x + (2/x^3)].
Come potrete notare, in questa derivata, si nota come x^5 venga semplificato con x^4 e diventi x nella frazione 2x^5/x^4, mentre x^4 al denominatore diventerà x^3 nella frazione 2/x^3. Si raccomanda, ulteriormente, che i passaggi potrebbero risultare abbastanza lunghi, ma le operazioni svolte all'interno di questa guida, sono scritte per intero, in modo da far capire a chi legge tutte le operazioni di base da svolgere.

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