Come calcolare la derivata di f(x)^g(x)

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

I rudimenti del calcolo differenziale mostrano come è possibile eseguire il calcolo della derivata di una funzione potenza, quando l'esponente è un numero reale. Tuttavia, i calcoli matematici si complicano leggermente quando si deve andare a trovare la derivata di una potenza che presenta come base ed esponente due funzioni. In questa semplice ed esauriente guida andremo a spiegare, pertanto, come si può calcolare la derivata di una funzione tipo f (x)^g (x), con un esempio di natura pratica che consenta di facilitare la comprensione. A questo punto, possiamo iniziare con la spiegazione.

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Per comprendere nel migliore dei modi come è possibile procedere per risolvere una funzione del tipo f (x)^g (x), è utilissimo partire dal più classico degli esempi pratici, ricordando che lo stesso si applica senza alcuna difficoltà a tutti quanti i casi analoghi. Consideriamo, pertanto, la funzione y=x^x. L'aspetto principale che si può notare è che in questa tipologia di funzione sono variabili sia la base che l'esponente. Per questo motivo non è possibile utilizzare, per la risoluzione, la regola di derivazione delle potenze, dal momento che l'esponente non è costante ma variabile. Secondo tale regola matematica, infatti, la derivata di x elevato ad un certo esponente k è direttamente k volte x elevato a k meno uno.

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L'idea che ci consente di risolvere questa funzione matematica, pertanto, deve essere un'altra, ovvero di riscrivere x^x come "e^ln (x^x)". È possibile eseguire un'operazione di questo genere, dal momento che sia l'esponenziale che il logaritmo sono due funzioni inverse e, quindi, se prendiamo la funzione e ne calcoliamo il logaritmo e successivamente l'esponenziale, in termini pratici è come se non avessimo fatto nulla. A questo punto, ricordando le proprietà che presentano i logaritmi, è possibile riscrivere l'esponente come "xlnx" e si ottiene "e^xlnx". Questo si ottiene per una proprietà che stabilisce che si può prendere l'esponente dell'argomento di un logaritmo, per poi portarlo fuori davanti al logaritmo stesso, ottenendo l'espressione scritta precedentemente.

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Dal momento che abbiamo scoperto che x^x è equivalente a "e^xlnx", è anche chiaro che derivare "x^x" corrisponde a derivare "e^xlnx". Si tratta, pertanto, di una funzione composta. Infatti, abbiamo l'esponenziale che presenta al suo interno un'altra funzione. Inoltre, questa funzione più interna rappresenta, a sua volta, il prodotto di due funzioni. Pertanto, ricordandosi come si derivano le funzioni composte, si conclude immediatamente che la derivata è uguale a "e^xln[lnx*x*1/x]". Proseguiamo, ora, nei calcoli. A questo punto si possono semplificare le x all'interno della parentesi e si conclude che la derivata risulta essere uguale a "e^xlnx[lnx+1]". Per quello che vi abbiamo riportato precedentemente, "e^xlnx" era uguale a x^x per cui "x^x[lnx+1]". Da questo, possiamo ricavare la derivata cercata, ovvero "y=x^x[lnx+1]". Abbiamo, pertanto, risolto il tutto semplicemente, facendo una sorta di "make up" alla funzione di partenza e riscrivendola in una formula assolutamente più comoda da trattare, senza utilizzare alcuna regola di derivazione particolare. In effetti, è stata sfruttata la regola di derivazione delle funzioni composte e quella della derivazione dei prodotti. Praticando un po' di esercizio pratico, la risoluzione di questi problemi potrà risultare semplicissima e quasi automatica. Sperando di esser stati sufficientemente chiari nell'esposizione di questa guida e di supporto a tutti gli studenti di matematica, non ci resta che augurarvi buon lavoro.

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