Come calcolare la derivata di f(x)^g(x)

I rudimenti del calcolo differenziale mostrano come è possibile eseguire il calcolo della derivata di una funzione potenza, quando l'esponente è un numero reale. Tuttavia, i calcoli matematici si complicano leggermente quando si deve andare a trovare la derivata di una potenza che presenta come base ed esponente due funzioni. In questa semplice ed esauriente guida andremo a spiegare, pertanto, come si può calcolare la derivata di una funzione tipo f (x)^g (x), con un esempio di natura pratica che consenta di facilitare la comprensione. A questo punto, possiamo iniziare con la spiegazione.

Per comprendere nel migliore dei modi come è possibile procedere per risolvere una funzione del tipo f (x)^g (x), è utilissimo partire dal più classico degli esempi pratici, ricordando che lo stesso si applica senza alcuna difficoltà a tutti quanti i casi analoghi. Consideriamo, pertanto, la funzione y=x^x. L'aspetto principale che si può notare è che in questa tipologia di funzione sono variabili sia la base che l'esponente. Per questo motivo non è possibile utilizzare, per la risoluzione, la regola di derivazione delle potenze, dal momento che l'esponente non è costante ma variabile. Secondo tale regola matematica, infatti, la derivata di x elevato ad un certo esponente k è direttamente k volte x elevato a k meno uno.

L'idea che ci consente di risolvere questa funzione matematica, pertanto, deve essere un'altra, ovvero di riscrivere x^x come "e^ln (x^x)". È possibile eseguire un'operazione di questo genere, dal momento che sia l'esponenziale che il logaritmo sono due funzioni inverse e, quindi, se prendiamo la funzione e ne calcoliamo il logaritmo e successivamente l'esponenziale, in termini pratici è come se non avessimo fatto nulla. A questo punto, ricordando le proprietà che presentano i logaritmi, è possibile riscrivere l'esponente come "xlnx" e si ottiene "e^xlnx". Questo si ottiene per una proprietà che stabilisce che si può prendere l'esponente dell'argomento di un logaritmo, per poi portarlo fuori davanti al logaritmo stesso, ottenendo l'espressione scritta precedentemente.

Dal momento che abbiamo scoperto che x^x è equivalente a "e^xlnx", è anche chiaro che derivare "x^x" corrisponde a derivare "e^xlnx". Si tratta, pertanto, di una funzione composta. Infatti, abbiamo l'esponenziale che presenta al suo interno un'altra funzione. Inoltre, questa funzione più interna rappresenta, a sua volta, il prodotto di due funzioni. Pertanto, ricordandosi come si derivano le funzioni composte, si conclude immediatamente che la derivata è uguale a "e^xln[lnx*x*1/x]". Proseguiamo, ora, nei calcoli. A questo punto si possono semplificare le x all'interno della parentesi e si conclude che la derivata risulta essere uguale a "e^xlnx[lnx+1]". Per quello che vi abbiamo riportato precedentemente, "e^xlnx" era uguale a x^x per cui "x^x[lnx+1]". Da questo, possiamo ricavare la derivata cercata, ovvero "y=x^x[lnx+1]". Abbiamo, pertanto, risolto il tutto semplicemente, facendo una sorta di "make up" alla funzione di partenza e riscrivendola in una formula assolutamente più comoda da trattare, senza utilizzare alcuna regola di derivazione particolare. In effetti, è stata sfruttata la regola di derivazione delle funzioni composte e quella della derivazione dei prodotti. Praticando un po' di esercizio pratico, la risoluzione di questi problemi potrà risultare semplicissima e quasi automatica. Sperando di esser stati sufficientemente chiari nell'esposizione di questa guida e di supporto a tutti gli studenti di matematica, non ci resta che augurarvi buon lavoro.