Come calcolare la derivata di funzioni semplici

Calcolare la derivata prima è molto importante nello studio delle funzioni, poiché consente di conoscere gli intervalli in cui queste crescono e/o decrescono ed è possibile calcolarne i massimi e i minimi. Con questi dati essenziali, risulta poi molto semplice disegnarne l'andamento tramite un grafico utilizzando il piano cartesiano. Vediamo quindi insieme come procedere.

Funzioni molto semplici da derivare sono quelle polinomiali di qualsiasi grado. Una funzione polinomiale si presenta nel seguente modo: y = ax^n (esempio: y = 4x^3 + 2x) dove n è il grado e le a rappresentano i coefficienti. In una funzione polinomiale è molto importante individuarne il grado massimo, ovvero l'esponente più alto presente su un incognita (nell'esempio è 3), che rappresenta il numero massimo di intersezioni che la funzione ha con l'asse x nel piano cartesiano. Fondamentale è ricordare che la derivata di una somma è pari alla somma delle derivate, per cui potete derivare ogni termine singolarmente e poi sommarlo agli altri.

Per indicare una funzione si usa la dicitura f (x), per indicare invece una derivata si applica alla f un apice, f'(x), che sta appunto ad indicare che la funzione è una derivata prima di un'altra. Per calcolare la derivata di una funzione polinomiale semplice, prendete in considerazione un termine alla volta; di questo termine prendete il grado (l'esponente sull'incognita) e moltiplicatelo per il coefficiente che compare davanti alla x; poi abbassate quello stesso grado di 1 e ponetelo come esponente della x. Ad esempio se avete f (x) = 2x^5 + x^4 + 3x^2 + x + 5, la derivata sarà f'(x) = 2*5*x^4 + 1*4*x^3 + 3*2*x + 1 = 10*x^4 + 6*x + 1. La derivata di ogni costante è nulla, sia che essa sia positiva o negativa. Quindi, nell'esempio, la derivata di 5 è 0!

Altre funzioni semplici da derivare sono quella esponenziale e quella logaritmica; non bisogna assolutamente applicare le regole sopra descritte per derivare queste due funzioni, ma si prendono così come sono. La prima (l'esponenziale) si presenta nella forma f (x) = e^x e nel processo di derivazione resta identica a se stessa: f'(x) = e^x. La seconda (la logaritmica) è nella forma f (x) = log (x), la cui derivata sarà f'(x) = 1/x. Altre funzioni che hanno derivate molto semplici sono il seno ed il coseno; in entrambe le funzioni l'incognita x rappresenta un angolo. Anche per queste non bisogna applicare le classiche regole di derivazione dei polinomi. Il seno di presenta nella forma f (x) = sen (x) e nel processo di derivazione diventa uguale al coseno: f'(x) = cos (x). Il coseno, invece, è f (x) = cos (x) e, come prevedibile, la sua derivata è uguale al seno ma cambiato di segno: f'(x) = - sen (x).