Come calcolare la curva della distribuzione normale

Per distribuzione normale o gaussiana, si intende una funzione di densità di probabilità continua, la quale descrive il modo in cui si distribuiscono i valori assunti da una determinata variabile casuale. In statistica, la distribuzione normale viene impiegata per descrivere approssimativamente uno o più fenomeni continui. Ottenendo un'espressione matematica che ci consenta di calcolare con quale probabilità una variabile casuale possa assumere dei particolari valori reali, è possibile descrivere un fenomeno continuo. In questa guida vogliamo dunque illustrarvi come calcolare la curva di distribuzione normale in modo semplice e veloce.

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Va innanzitutto sottolineato che la distribuzione normale presenta alcune significative caratteristiche: per prima cosa, ha una forma campanulare e simmetrica. Le sue misure di posizione centrale (valore atteso e mediana) sono sempre coincidenti. Il suo range interquartile è pari a 1.33 volte lo scarto quadratico medio e, dunque, è in grado di occupare un intervallo medio che risulta compreso tra µ ? 2/3? e µ + 2/3?. La variabile aleatoria con distribuzione normale, assume invece valori compresi tra -? e + ?.

Poiché esiste un numero infinito di combinazioni dei parametri µ e ?, per poter rispondere a quesiti inerenti ad a una qualsiasi distribuzione normale, occorrerà sempre un numero infinito di tavole. Dunque, sarà sempre utile introdurre una formula di trasformazione delle osservazioni. Tale formula è chiamata standardizzazione. Consente la trasformazione di una generica variabile aleatoria normale in una variabile aleatoria normale standardizzata.

Stabilito dunque il campo entro il quale occorre procedere, vediamo ora come riconoscere una curva di distribuzione normale. Essa è caratterizzata da una forma a campana, dunque si tratta di una curva di tipo simmetrico con funzione y=y (x). Tale funzione descrive la probabilità y che un valore x sia compreso tra x e x+dx. In sintesi, si può affermare che la curva di Gauss descrive la densità di probabilità di x. Per operare un calcolo all'interno di un dato fenomeno, abbiamo bisogno di una specifica espressione. Tale espressione verrà definita nel prossimo paragrafo.

A questo punto, individueremo con f (X) l?espressione matematica che rappresenti una funzione di densità di probabilità. Ora, analizziamo ciascun valore della formula matematica inerente alla curva di Gauss. Il simbolo "e" sta ad indicare la costante matematica approssimata a 2.71828, mentre il ? è il valore della costante matematica approssimata a 3.14159. Con la lettera greca µ si identifica il valore atteso e la lettera ? costituisce lo scarto quadratico medio. Con la X andremo infine ad indicare i valori assunti dalla variabile aleatoria, i quali sono compresi tra -? e +? e quindi racchiusi nell'insieme numerico R.

Facciamo ora un piccolo esempio per calcolare una curva gaussiana. Supponiamo di dover rappresentare il fenomeno riguardante il peso di una confezione di caramelle, con valore medio µ= 495 grammi e scarto quadratico ?=4 grammi. Mettiamo caso si debba calcolare la percentuale di confezioni il cui peso è inferiore a 485 grammi, come fare? Prendiamo la formula u = x - µ / ? come riferimento per il calcolo.Calcoliamo u285 = 485 - 495 / 5 = - 2,5. L'area compresa nella curva è 1 - F (2,5) = 1 - 0,9938 = 0,0062 e quindi avremo una percentuale dello 0,62%. Se invece volessimo calcolare la percentuale di confezioni il cui peso sia superiore a 502 grammi, possiamo effettuare questa operazione: u502 = 502 - 495 / 5 = - 1,4. In questo caso, l'area richiesta è 1 - F (1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808 e quindi avremo una percentuale dell'8,08%. Questa tipologia di calcoli possono essere utilizzati per la misurazione di vari fenomeni. L'aspetto importante è sempre quello di tenere come riferimento la formula matematica apposita e che ci consenta di calcolare una curva di distribuzione normale.

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