Come calcolare la curva della distribuzione normale

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Difficoltà: media
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Introduzione

Per distribuzione normale o gaussiana, si intende una funzione di densità di probabilità continua, la quale descrive il modo in cui si distribuiscono i valori assunti da una determinata variabile casuale. In statistica, la distribuzione normale viene impiegata per descrivere approssimativamente uno o più fenomeni continui.
Ottenendo un'espressione matematica che ci consenta di calcolare con quale probabilità una variabile casuale possa assumere dei particolari valori reali, è possibile descrivere un fenomeno continuo.
Vediamo dunque come calcolare la curva della distribuzione normale in modo semplice e veloce.

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Occorrente

  • Manuale di Statistica e Probabilità
  • Nozioni base di algebra sulle funzioni
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Per prima cosa, vediamo come riconoscere una curva di distribuzione normale. Essa è caratterizzata da una forma a campana, dunque si tratta di una curva di tipo simmetrico con funzione y=y (x). Tale funzione descrive la probabilità y che un valore x sia compreso tra x e x+dx. In sintesi la curva di Gauss descrive la densità di probabilità di x. Per operare un calcolo all'interno di un dato fenomeno, abbiamo bisogno di una specifica espressione: vediamo quale nel prossimo passo.

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A questo punto, individueremo con f (X) l’espressione matematica che rappresenti una funzione di densità di probabilità.
Per la distribuzione normale, la funzione di densità si identifica nell'espressione riportata in questo link upload. Wikimedia. Org 
Ora, analizziamo ciascun valore della formula matematica inerente alla curva di Gauss.
Con la e si sta ad indicare la costante matematica approssimata a 2.71828, mentre il π è il valore della costante matematica approssimata a 3.14159.
Con la lettera greca µ si identifica il valore atteso e la lettera σ costituisce lo scarto quadratico medio.
Con la X andremo infine ad indicare i valori assunti dalla variabile aleatoria, i quali sono compresi tra -∞ e +∞ e quindi racchiusi nell'insieme numerico R.

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Facciamo ora un piccolo esempio per calcolare una curva gaussiana. Supponiamo di dover rappresentare il fenomeno riguardante il peso di una confezione di caramelle, con valore medio µ= 495 grammi e scarto quadratico σ=4 grammi.
Mettiamo caso si debba calcolare la percentuale di confezioni il cui peso è inferiore a 485 grammi, come fare? Prendiamo la formula u = x - µ / σ come riferimento per il calcolo.
Calcoliamo u285 = 485 - 495 / 5 = - 2,5.
L'area compresa nella curva è 1 - F (2,5) = 1 - 0,9938 = 0,0062 e quindi avremo una percentuale dello 0,62%.
Se invece volessimo calcolare la percentuale di confezioni il cui peso sia superiore a 502 grammi, possiamo effettuare questa operazione: u502 = 502 - 495 / 5 = - 1,4.
In questo caso, l'area richiesta è 1 - F (1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808 e quindi avremo una percentuale dell'8,08%.
Questo tipo di calcoli si può effettuare per vari fenomeni, l'importante è sempre tenere come riferimento la formula matematica apposita che ci permetta di calcolare una curva di distribuzione normale.

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