La
matematica è una materia piuttosto vasta e alquanto complicata, che non tutti sono in grado di capire e comprendere immediatamente. È necessario infatti molto studio e pazienza prima di poter padroneggiare questa materia a fondo. Esistono molti argomento inoltre che necessitano di approfondimenti specifici, la covarianza è uno di questi argomenti. Vediamo di capire meglio di cosa si tratta.
La covarianza è un indicatore statistico molto utilizzato che esprime la dipendenza e il comportamento tra due variabili casuali, che rappresentano una distribuzione unitaria. In
matematica, in particolare in
teoria della probabilità, la covarianza di due
variabili aleatorie è un numero Cov (X, Y) che fornisce una misura di quanto le due varino assieme, ovvero della loro
dipendenza. Mentre in In
matematica e
fisica, in particolare in
algebra multilineare e nel
calcolo tensoriale, le nozioni di
covarianza e controvarianza si riferiscono al modo in cui la descrizione di una data
entità geometrica o fisica varia quando si effettua un
cambiamento di coordinate, come una rotazione o una dilatazione dello spazio. Nel caso di una rotazione di una
base ortogonale la differenza tra vettori e covettori non si percepisce. Ricordiamo che Affinché un vettore sia indipendente dalla base (
sistema di riferimento) in cui viene ambientato è necessario che le sue
componenti subiscano una trasfrmazione "contraria" a quella che subiscono i vettori di base quando si cambia la base. Un vettore è per questo motivo detto
vettore controvariante, e le sue componenticontravariano al fine di mantenerne l'
invarianza rispetto al sistema di riferimento: la trasformazione delle
coordinate avviene in maniera opposta rispetto al
cambio di base, il quale rappresenta la rispettiva
trasformazione inversa.
Esempi di vettori contravarianti sono la posizione di un oggetto relativamente ad un osservatore e le sue derivate rispetto al tempo, come la
velocità e l'
accelerazione. La
notazione di Einstein indica i vettori come: Affinché un
vettore duale, ovvero appartenente allo
spazio duale dello spazio di partenza, sia indipendente dalla base in cui viene scritto è necessario che le sue componenti subiscano la stessa trasformazione dei vettori (funzioni lineari) di base quando si cambia la base. Un vettore duale è percò detto vettore covariante, e le sue componenti covariano al fine di mantenerne l'invarianza rispetto al sistema di riferimento: la trasformazione delle coordinate è la stessa del cambio di base. Esempi di vettori covarianti si ottengono solitamente applicando il
gradiente ad una funzione. La
notazione di Einstein indica i vettori come: Dopo questo breve ripasso ora vi spiegherò brevemente come
calcolare la covarianza attraverso una formula semplificata. La varianza non è altro che il valore atteso, in statistica indicato con E, del prodotto delle distanze delle due variabili dalla rispettiva media.
Ma vediamo di capire meglio questo concetto attraverso i passi di questa guida, vi daremo utili e semplici consigli che vi permetteranno di capire meglio come procedere.