Come calcolare la covarianza

La matematica è una materia piuttosto vasta e alquanto complicata, che non tutti sono in grado di capire e comprendere immediatamente. È necessario infatti molto studio e pazienza prima di poter padroneggiare questa materia a fondo. Esistono molti argomento inoltre che necessitano di approfondimenti specifici, la covarianza è uno di questi argomenti. Vediamo di capire meglio di cosa si tratta.
La covarianza è un indicatore statistico molto utilizzato che esprime la dipendenza e il comportamento tra due variabili casuali, che rappresentano una distribuzione unitaria. In matematica, in particolare in teoria della probabilità, la covarianza di due variabili aleatorie è un numero Cov (X, Y) che fornisce una misura di quanto le due varino assieme, ovvero della loro dipendenza. Mentre in In matematica e fisica, in particolare in algebra multilineare e nel calcolo tensoriale, le nozioni di covarianza e controvarianza si riferiscono al modo in cui la descrizione di una data entità geometrica o fisica varia quando si effettua un cambiamento di coordinate, come una rotazione o una dilatazione dello spazio. Nel caso di una rotazione di una base ortogonale la differenza tra vettori e covettori non si percepisce. Ricordiamo che Affinché un vettore sia indipendente dalla base (sistema di riferimento) in cui viene ambientato è necessario che le sue componenti subiscano una trasfrmazione "contraria" a quella che subiscono i vettori di base quando si cambia la base. Un vettore è per questo motivo detto vettore controvariante, e le sue componenticontravariano al fine di mantenerne l'invarianza rispetto al sistema di riferimento: la trasformazione delle coordinate avviene in maniera opposta rispetto al cambio di base, il quale rappresenta la rispettiva trasformazione inversa. Esempi di vettori contravarianti sono la posizione di un oggetto relativamente ad un osservatore e le sue derivate rispetto al tempo, come la velocità e l'accelerazione. La notazione di Einstein indica i vettori come: Affinché un vettore duale, ovvero appartenente allo spazio duale dello spazio di partenza, sia indipendente dalla base in cui viene scritto è necessario che le sue componenti subiscano la stessa trasformazione dei vettori (funzioni lineari) di base quando si cambia la base. Un vettore duale è percò detto vettore covariante, e le sue componenti covariano al fine di mantenerne l'invarianza rispetto al sistema di riferimento: la trasformazione delle coordinate è la stessa del cambio di base. Esempi di vettori covarianti si ottengono solitamente applicando il gradiente ad una funzione. La notazione di Einstein indica i vettori come: Dopo questo breve ripasso ora vi spiegherò brevemente come calcolare la covarianza attraverso una formula semplificata. La varianza non è altro che il valore atteso, in statistica indicato con E, del prodotto delle distanze delle due variabili dalla rispettiva media.
Ma vediamo di capire meglio questo concetto attraverso i passi di questa guida, vi daremo utili e semplici consigli che vi permetteranno di capire meglio come procedere.

Si dimostra che:
Cov (X; Y) =E (XY)-E (X) E (Y)
Supponiamo di aver osservato il numero di figli (X) e il numero di auto (Y),
X ha assunto valori 0,1,0,1,1,2,2,2,3,1

Y ha assunto valori 1,0,1,1,2,1,1,2,2,1

abbiamo che la media di X = E (X) = 1.3

abbiamo che la media di Y = E (Y) = 1.2

la media di XY = E (XY) = 1.8

quindi la covarianza è:

C (X, Y) = E (XY) -E (X) E (Y) =1.8 - 1.2 * 1.3 = 0.24

in alternativa possiamo calcolare la covarianza nel modo seguente:
C (X, Y) =(0-1.3)*(1-1.2)*0.2+ (1 - 1.3)*(0 -1.2)*0.1+ (1 - 1.3)*(1 -1.2)*0.2+ (1- 1.3)*(2 -1.2)*0.1+
+ (2 - 1.3)*(1 -1.2)*0.2+ (2 - 1.3)*(2 -1.2)*0.1+(3 - 1.3)*(2 -1.2)*0.1 = 0.24
Il calcolo sembra lungo e complesso, ma per essere eseguito velocemente e senza sforza sarà necessario un po' di esercizio.

La covarianza è inoltre un indice assoluto quindi possiamo interpretarne solo il segno e non il valore; in particolare una covarianza positiva indica concordanza, e una negativa indica discordanza. Se il valore è nullo vuol dire che abbiamo indipendenza correlativa.
Calcolare la covarianza è un'operazione piuttosto veloce, che richiede davvero poco tempo per essere eseguito. Vi basterà infatti seguire le indicazioni e i passaggi spiegati in questa guida per iniziare a studiare questo argomento e muovere i primi passi, ma se proprio doveste avere altri dubbi, allora vi consiglio di chiedere informazioni al vostro insegnante che potrà risolverli meglio. Vi auguro quindi buono studio e buona fortuna.
Alla prossima.