Come calcolare l'ordine di infinitesimo

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Quando si studia l'algebra, si tratta una branca piuttosto complessa della matematica. In questo caso ci troviamo nel territorio delle funzioni. Una funzione non è altro che una legge che regola l'interazione tra un insieme di partenza A (detto dominio) e uno di arrivo B (detto codominio). In generale, f : A → B è una funzione. Qui un elemento di A risulta associato ad un elemento di B. Esistono diversi tipi di funzione, il cui studio ci porta anche a rappresentare graficamente la porzione di piano cartesiano coinvolta. L'andamento di una qualunque funzione algebrica prende il nome di limite e viene esplicitato con una specifica formula, ossia lim x→ x0 di f(x)=l. Naturalmente questo argomento è molto più complesso di quanto sembri. Tuttavia dobbiamo fornire una spiegazione chiara ed esaustiva per comprendere il legame tra una funzioni. Ebbene, nella seguente guida ci occuperemo proprio degli infinitesimi. Ne forniremo una breve descrizione, dopodiché vedremo come calcolare l'ordine di infinitesimo.

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Occorrente

  • Manuale di algebra
  • Conoscenze di base sui limiti
  • Ottime capacità nel calcolo algebrico
  • Conoscenze di base su infiniti e infinitesimi
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Distinguere un infinito da un infinitesimo

Il calcolo dei limiti, come ben sappiamo, è un procedimento tutt'altro che semplice. Esso richiede l'impiego di specifiche risorse, utili a risolvere agevolmente i vari problemi che hanno come protagonista il limite di una funzione. Tra i migliori strumenti di calcolo troviamo gli ordini di infinito e quelli di infinitesimo. Vediamo di fornire una definizione di entrambi. Una funzione infinita in x0 è tale se il suo limite risulta infinito in relazione ad x che tende ad x0. Avremo invece una funzione infinitesima in x0 se il suo limite corrisponde a 0 in relazione ad x che tende ad x0. Una volta fatta questa piccola distinzione, possiamo dedurre che un limite di funzione può risolversi mediante ordini di infinito oppure ordini di infinitesimo. In questa sede andremo ad approfondire la seconda tipologia di ordini.

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Confrontare gli infinitesimi di ordine superiore, uguale o inferiore

Gli infinitesimi ci indicano delle successioni numeriche che tendono a zero. Ciascuna successione tende a zero in modo diverso rispetto alle atre. Alcune saranno più veloci, altre più lente. Se prendiamo in considerazione due diverse funzioni, le cui x sono entrambe tendenti a zero, possiamo confrontarle tra loro. In questo modo vedremo quale delle due tende a zero più velocemente dell'altra. Avremo pertanto tre categorie di ordine di infinitesimo. A tal proposito, possiamo parlare di ordine superiore, ordine inferiore e ordine uguale. Un ordine più veloce risulterà maggiore, quindi superiore. Al contrario un ordine più lento, che invece sarà inferiore. Due funzioni con la medesima velocità apparterranno invece ad un ordine infinitesimo uguale. Una volta fatto questo confronto, andiamo a calcolare l'ordine infinitesimo.

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Risolvere le funzioni in base al tipo di ordine di infinitesimo

Eccoci giunti al calcolo vero e proprio dell'ordine di infinitesimo. Una volta distinte le tre categorie di ordine, passiamo ad analizzare due funzioni infinitesime f e g per x → x0. A tal proposito, avremo tre possibilità e un'eventuale quarta. Se abbiamo lim x→ x0 di f(x)/g(x) = 0, allora ci troviamo di fronte ad un ordine superiore di f(x) rispetto a g(x). Ne dedurremo che f è una funzione che tende a zero più velocemente rispetto a g. Otterremo invece un ordine inferiore se lim x→ x0 di f(x)/g(x) = +∞. In questo caso f tende a zero più lentamente rispetto a g. Infine ricaveremo un ordine infinitesimo uguale se lim x→ x0 di f(x)/g(x) = l ≠ 0. Poc'anzi abbiamo parlato di una quarta soluzione. Può capitare di avere due infinitesimi non confrontabili. In questo caso avremo lim x→ xp di f(x)/g(x) = impossibile.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Studiare attentamente i limiti sul manuale di algebra per capire meglio la differenza tra infinito e infinitesimo.
  • Esercitarsi nello studio di diverse funzioni per acquisire maggior sicurezza nel calcolo.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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