Come calcolare l'omotetia inversa di una figura geometrica

L' omotetia è una particolare trasformazione geometrica del piano che ingrandisce o rimpiccolisce un'oggetto mantenendo costanti gli angoli e quindi la forma dell'oggetto. In particolare si ha l'omotetia inversa quando il rapporto di omotetia k assume un valore negativo. Ma calcolare l'omotetia inversa di una figura geometrica.

L'omotetia di una figura geometrica M si ottiene stabilendo un centro O esterno al triangolo e una costante di omotetia k. Quando si calcola l'omotetia di una figura geometrica è molto importante osservare la costante k. Quest' ultima se si presenta maggiore di uno si ottiene un ingrandimento della figura mentre se il suo valore è inferiore a uno si ha un rimpicciolimento. Inoltre se k è uguale a 1 avremmo una sovrapposizione dell'immagine mentre se il suo valore è uguale a zero parleremo di un collasso del piano nel punto O.

Prendiamo in considerazione il triangolo ABC mostrato in figura e trasformiamolo con una omotetia. Per prima cosa stabiliamo un punto 0, il centro dell'omotetia dove passano tutte le rette che attraversano i punti corrispondenti che andremo a rappresentare. Adesso non ci resta che stabilire il valore di k in modo da ricavarci i valori del triangolo trasformato A'B'C'. A' ci è dato dal rapporto tra k * e le coordinate (x, y) di A cioè A'x' = k*x mentre A' y' = k*y. Quindi A' avrà coordinate (x', y') nel medesimo modo andiamo a ricavarci i valori di B' e C'. Vediamolo meglio con un esempio.

Costruiamo su un piano cartesiano un triangolo ABC, rispettivamente di coordinate A (2 , 1) B (3,4) e C (1, 3). Costruiamo un triangolo A'B'C' conoscendo la costante di omotetia uguale a - 2 e che il centro dell'omotetia corrisponde all'origine degli assi. Per prima cosa ricaviamoci i valori dei vertici A', B' e C'. Il vertice A' avrà coordinate (-4, -2,) poiché A'x' è uguale a k*Ax cioè -2+2 che è uguale a -4 mentre A'y' è uguale a k*Ay cioè -2*1 = -2. Questo ragionamento lo ripetiamo per ricavarci i valori di B' che avrà coordinate (-6,-8) e di C' con coordinate (-2,-6). Dopo aver trovato le coordinate del triangolo trasformato potremmo andarlo a riprodurlo sul piano cartesiano.

Inoltre se conosciamo ad esempio le coordinate del triangolo ABC e le coordinate di un vertice del triangolo A'B'C', potremmo ricavare attraverso una formula inversa il valore del coefficiente di omotetia k. Quindi sapendo le coordinate di A (x, y) e quelle di A' (x', y') possiamo ricavarci k che è uguale al rapporto tra x' e x. Dopo aver scoperto le coordinate di k potremmo ricavarei i valori di B' e C' in modo da realizzare il triangolo trasformato.