Come calcolare l'omotetia inversa di una figura geometrica

L' omotetia è una particolare trasformazione geometrica del piano che ingrandisce o rimpiccolisce un oggetto mantenendo costanti gli angoli e quindi la forma dell'oggetto. In particolare si ha l'omotetia inversa quando il rapporto di omotetia K assume un valore negativo. Date queste premesse, vediamo ora come calcolare l'omotetia inversa di una figura geometrica.

• Software didattico sulle omotetie
• Carta millimetrata

L'omotetia di una figura geometrica M si ottiene stabilendo un centro O esterno al triangolo e una costante di omotetia K. Quando si calcola l'omotetia di una figura geometrica è molto importante osservare la costante K. Quest' ultima se si presenta maggiore di uno si ottiene un ingrandimento della figura mentre se il suo valore è inferiore a uno si ha un rimpicciolimento. Inoltre se K è uguale a 1 avremmo una sovrapposizione dell'immagine mentre se il suo valore è uguale a zero parleremo di un collasso del piano nel punto O.

Passiamo ora alla realizzazione di alcuni esempi di tipo pratico che possano descrivere in maniera concreta come calcolare l'omotetia inversa di una figura geometrica. Iniziamo, analizzando le proprietà di una figura geometrica classica come il quadrilatero. A tal proposito, supponiamo di voler trasformare con una omotetia un quadrilatero qualsiasi. Fissiamo il centro di trasformazione all'altezza del vertice C e stabiliamo che il valore di K sia uguale a 2. In questo modo, otterremo un ingrandimento. Ai fine della definizione della scala di ingrandimento che sia uguale al valore di K, dovremo dunque fissare il centro corrispondenza di un vertice della figura presa in esame. Seguendo questa modalità, otterremo infatti una proporzionalità diretta tra la costante K e il fattore di ingrandimento o quello di riduzione. Questo sii verificherà perché si annulla la componente di spostamento sul piano, la quale verrà data dalla posizione del centro esterno rispetto alla posizione della figura di partenza.

Ora passiamo allo svolgimento di un secondo esempio, stavolta rappresentato da una figura di tipo triangolare. Per calcolare l'omotetia inversa di questa particolare figura geometrica, prendiamo in considerazione un triangolo con i vertici che chiameremo A,B, C, e trasformiamolo con una omotetia. Per prima cosa stabiliamo un punto 0, ovvero il centro dell'omotetia dove passano tutte le rette che attraversano i punti corrispondenti che andremo a rappresentare. Adesso non ci resta che stabilire il valore di K in modo da ricavarci i valori del triangolo trasformato A'B'C'. A' ci è dato dal rapporto tra K* e le coordinate (x, y) di A, cioè A'x' = k*x mentre A' y' = k*y. Quindi A' avrà coordinate (x', y'). Allo stesso modo andiamo a ricavarci i valori di B' e C'. Analizziamo quest'ultima azione servendoci dell'esempio illustrato nel prossimo paragrafo.

Costruiamo su un piano cartesiano un triangolo ABC, rispettivamente di coordinate A (2 , 1) B (3,4) e C (1, 3). Costruiamo un triangolo A'B'C' conoscendo la costante di omotetia uguale a - 2 e che il centro dell'omotetia corrisponde all'origine degli assi. Per prima cosa ricaviamoci i valori dei vertici A', B' e C'. Il vertice A' avrà coordinate (-4, -2,) poiché A'x' è uguale a k*Ax cioè -2+2 che è uguale a -4 mentre A'y' è uguale a k*Ay cioè -2*1 = -2. Questo ragionamento dovrà essere ripreso per ricavare i valori di B', che avrà dunque coordinate (-6,-8) e di C', con coordinate (-2,-6). Dopo aver trovato le coordinate del triangolo trasformato, sarà possibile andarlo a riprodurre sul piano cartesiano.

Inoltre, se conosciamo ad esempio le coordinate del triangolo ABC e le coordinate di un vertice del triangolo A'B'C', potremo ricavare, attraverso una formula inversa, il valore del coefficiente di omotetia K. Quindi, sapendo le coordinate di A (x, y) e quelle di A' (x', y'), sarà possibile possiamo ricavare K. Questa sarà infatti uguale al rapporto tra x' e x. Analogamente, dopo aver individuato le coordinate di K, potremo ricavarei i valori di B' e C' in modo da realizzare il triangolo trasformato.

• Come calcolare e disegnare l'omotetia di una figura geometrica