Come calcolare l'integrale indefinito

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Si definisce integrale la funzione inversa della derivata. Tale operazione dal punto di vista grafico equivale a calcolare l’area sottesa alla curva della funzione riportata su un grafico cartesiano. Nel caso in cui il risultato dell’integrale non sia una costante ma una funzione allora si parla di integrale indefinito. Nella nostra guida vedremo le principali regole da applicare nel calcolo di questa tipologia di integrali per trovare una soluzione in tempi brevi e applicando un chiaro schema di calcolo.

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Quando dobbiamo risolvere un integrale la prima domanda che ci dobbiamo porre è: Si tratta di un integrale immediato?. Pertanto va verificato se è compreso nelle tabelle degli integrali immediati e in tal caso il risultato è già a portata di mano, contenendo questa tabella la soluzione. Se non siamo in questa casistica allora dobbiamo verificare se è possibile risolverlo tramite la tecnica della sostituzione. Ciò generalmente è possibile se l’argomento dell’integrale è composto sia da una funzione e sia dalla sua derivata.

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Se non siamo nemmeno in questa casistica allora sarà necessario verificare se possiamo applicare l’integrazione per parti: ciò è possibile quando l’argomento dell’integrale si può spezzare in due funzioni di cui conosci della prima l’integrale e della seconda la derivata. Se non siamo nemmeno in questa casistica ci rimane la strada delle funzioni razionali e applicare questa metodologia per la risoluzione.
Se nemmeno cosi riusciamo a trovare la soluzione entriamo in uno degli ambiti più complessi dal punti di vista degli integrali e pertanto dovremmo ricorrere alle serie e risolvere l’integrale di ogni termine della serie per risolvere l’intero integrale.

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Vediamo di seguito un esempio cosi da capire come applicare lo schema sopra riportato, tenendo presente due regole fondamentali: la prima che afferma che l’integrale di una somma e’ uguale allo somma degli integrali delle funzioni singole. La seconda che si basa sull'enunciato che l’integrale di una costante per una funzione e’ uguale al prodotto della costante per l’integrale della singola funzione.
Pertanto se vogliamo calcolare l’integrale dell'esempio riportato a sinistra come prima cosa applichiamo le due regole sopra riportate. Questo ci permetterà di avere una somma di integrali immediati di cui già si conosce la soluzione e pertanto applicando la tabella avremmo risolto in pochi minuti il nostro integrale che all’inizio sembrava quasi impossibile.

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