Come calcolare l'integrale di Lebesgue

Tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

In analisi applicata, l’integrale di Lebesgue è uno metodo che permette di misurare l’integrale di una funzione, rispetto al valore stabilito su un σ-algebra. Il sigma-algebra di un insieme A consiste in un gruppo di sottoinsiemi di A, tali da vantare delle pertinenze di stabilità. Si utilizza in particolar modo nei calcoli delle probabilità, per quantificare insiemi e funzioni. In questo tutorial, vi mostreremo come calcolare correttamente l’integrale di Lebesgue. L’argomento è particolarmente difficoltoso ed implica elevate conoscenze nel campo dell’analisi. Vi suggeriamo di porre particolare attenzione alla spiegazione, così da comprendere facilmente le nozioni di base.

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Occorrente

  • Un buon libro di analisi matematica
  • Adeguate conoscenze di base
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DIMOSTRAZIONE PRATICA.
Considerate una determinata funzione misurabile. Come tale, l’immagine inversa di ogni suo intervallo V si trova in Y. Ne deducete che, ad ogni intervallo, f-1(V) corrisponde ad un insieme misurabile.
f-1(V) Є Y
La funzione semplice si compone di numeri reali n1, …nn. Di conseguenza:
f (x) = Σ n1av (y), con v =1.
Applicate l’integrale di Lebesgue alla funzione:
∫F fdμ = Σ n1μ (Ni ∩ F)
F Є Y.
Sapete che la funzione non è un valore negativo e, naturalmente, è misurabile. Quindi:
∫F f dμ := sup ∫F t dμ.
Il valore superiore considera le varie funzioni semplici t come:
0 ≤ t ≤ f.
Di conseguenza, il valore dell’integrale di Lebesgue è un numero compreso tra zero ed infinito.
Calcolare l’integrale di Lebesgue è un procedimento contorto, ma facilmente comprensibile con l'adeguata applicazione. Vi consigliamo di esercitarvi a lungo, per appropriarvi delle nozioni espresse.
Uno studio costante ed attivo vi aiuterà nell’intento.

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DEFINIZIONE.
Come si può definire l’integrale di Lebesgue?
Semplicissimo.
Considerate di avere un insieme A, con una serie di sottoinsiemi. Su un determinato σ-algebra Y, stabilite una misura μ. Secondo la teoria della probabilità, la misura di Lebesgue μ consiste in un valore probabile. Questo si trova all’interno di uno spazio A, altrettanto probabile.
L’insieme A si può estendere in un determinato spazio euclideo, o all’interno di un altro sottoinsieme misurabile. A sua volta, Y può appartenere o meno a tutti i sottoinsiemi.

Continua la lettura
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PROPRIETA’.
Grazie a Lebesgue, si delinea il procedimento con cui eseguire il calcolo di limite sotto un integrale. Fondandosi sulla teoria della misura, l’integrale quantifica qualsiasi elemento misurabile, da un insieme ad una funzione. Lo scopo consiste nell’attribuire un valore ai vari sottoinsiemi di un insieme reale. Naturalmente, una delle clausole che rende possibile l’applicazione dell’integrale di Lebesgue consiste nell’utilizzare solo insiemi e funzioni misurabili.

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