Come calcolare l'integrale definito

Tramite: O2O 13/02/2016
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa guida vogliamo aiutare tutti i nostri lettori, a capire come poter calcolare, nel migliore dei modi ed in maniera semplice e veloce, l'integrale definito, in modo tale da poter sapere quando farlo.
L'integrale è uno degli operatori matematici più importanti. L'idea di base era nota già ai tempi di Archimede di Siracusa che, grazie all'uso dell'integrale, riuscì a calcolare, per esempio, l'area del cerchio. Dal punto di vista formale, calcolare l'integrale di una funzione vuol dire associare alla funzione stessa l'area sottesa al suo grafico all'interno del dominio [a, b]. Il teorema fondamentale del calcolo integrale, scoperto in maniera indipendente nel XVII e XVIII secolo da vari scienziati (tra cui Newton) dimostra che l'integrale di una funzione f, da A a B, è rappresentato da una funzione F la cui derivata risulta uguale alla funzione di partenza. Quest'ultima prende il nome di primitiva o antiderivata.
Buona lettura e buon divertimento a tutti quanti coloro che avranno bisogno di questo elemento ed argomento!

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Occorrente

  • conoscenza base
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Prima di procedere con la spiegazione del calcolo è fondamentale capire cosa sia un integrale definito. Supponiamo di avere un certo intervallo chiuso e limitato [a, b] e una funzione continua f: [a, b] -> R che ammette infinite primitive sull'intervallo [a, b]. L'integrale definito di f su [a, b] è definito come:
F (b) - F (a)
F corrisponde ad una qualsiasi primitiva della funzione f.
Si può dedurre, dunque, che l'integrale definito è un numero e che anche se cambiassimo la primitiva f otterremmo sempre lo stesso numero.
Da un punto di vista geometrico l'integrale definito rappresenta l'area, tra a e b, sottesa al grafico di f. Se consideriamo una generica funzione f (x) = mx possiamo risalire ad una primitiva sfruttando la seguente formula:
integ (m*x^n) = m*x^(n+1)/(n+1) + c.

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Chiariti i concetti di base passiamo alla risoluzione di qualche esercizio sugli integrali definiti. Supponiamo di avere la funzione y = x^3+7 e di dover calcolare l'integrale definito sull'intervallo [a, b] = [0,5]. La prima cosa utile da fare è quella di disegnare il grafico della funzione e capire quale sia l'area da trovare. L'integrale, in questo caso, sarà dato dalla somma degli integrali dei due termini che compongono la funzione y: il primo sarà pari a x^4 /4, il secondo sarà pari a 7x. Adesso bisogna calcolare x^4/4 + 7x prima per x=5 e poi sottrarlo allo stesso integrale calcolato in x=0. Avremo:
(5^4/4 + 7*5) - (0^4/4 + 7*0) = 625/4 + 35 = 165.

Continua la lettura
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Vediamo un altro esempio. Calcoliamo l'integrale tra [0, pi greco] di sin (x)+cos (x). L'integrale del primo vale -cos (x), quello del secondo sen(x). Bisogna calcolare quindi -cos (x)+sen (x) per x=pi greco e sottrarlo a -cos (x)+sen (x) valutati in x=0. Avremo:
-cos (pi greco)+sen (pi greco)-[-cos (0)+sen (0)] = -(-1)+0-(-1)-0 =+2.

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