Come calcolare l'inerzia di un oggetto

In fisica, quando si calcola l'inerzia di un corpo, è necessario considerare non soltanto la massa del corpo, ma anche il modo in cui essa è distribuita. Per esempio, se due automobile hanno la stessa massa, ma nella prima questa è concentrata sulla parte anteriore e nella seconda nella parte posteriore, le due auto avranno diversi momenti di inerzia. Vediamo dunque come calcolare l'inerzia di un oggetto.

Per trovare il momento di inerzia di un disco rotante intorno ad un asse bloccato attraverso il suo centro, bisogna rompere il disco in 8 diverse parti, per ognuna delle quali bisogna utilizzare una formula differente. Per il cilindro solido, la formula è: I= 1/2 mr ^2; per il cilindro incavato: I = mr ^2; per la sfera solida: I= 2/5 mr ^2; per la sfera incavata: I= 2/3 mr ^2; per il rettangolo rotante intorno all'asse parallelo: I= 1/3 mr ^2; per il rettangolo rotante intorno all'asse perpendicolare: I= (1/12) m (r1 ^2 + r2 ^2); per l'asta rotante intorno al suo centro: I= 1/12 mr ^2; per l'asta rotante intorno al suo punto estremo: I= 1/3 mr ^2.

Il calcolo dei momenti di inerzia è abbastanza semplice se bisogna esaminare soltanto il moto orbitale di piccoli oggetti puntiformi, dove tutta la massa è concentrata in un punto particolare ad un determinato raggio. Per esempio, per una pallina da golf che ruota intorno ad un filo, il momento d'inerzia dipende dal raggio del cerchio intorno al quale la palla ruota. Quindi, la formula per il calcolo sarà la seguente: I = mr ^2, dove m rappresenta la massa dell'oggetto espressa in chilogrammi ed r è il raggio del cerchio dal centro di rotazione al punto in cui tutta la massa della pallina da golf si concentra.

Fin qui è tutto semplice, ma ora vediamo come calcolare l'inerzia di un oggetto esteso, come un'asta, dove ogni momento della massa si trova in un raggio diverso. Non esiste un modo semplice per affrontare questo calcolo, quindi è necessario riassumere il contributo di ogni particella della massa ad ogni raggio diverso, attraverso la formula: I= Σmr ^2. È possibile utilizzare questo concetto per addizionare i momenti di inerzia di tutti gli elementi per ottenere il totale, in modo da poter calcolare il momento di inerzia di qualsiasi distribuzione della massa. Ecco un esempio con due masse puntiformi, che è un po' più complesso di un singolo punto di massa. Prendendo in considerazione due palline da golf, e volendo sapere il modo in cui il loro momento di inerzia è combinato, bisogna assegnare il raggio r1 alla prima pallina e un raggio r2 alla seconda. Il momento di inerzia totale lo si può calcolare mediante la formula: I= Σmr ^2= m (r1 ^2 + r2 ^2).

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