Come calcolare l'equazione del moto di un sistema meccanico

tramite: O2O
Difficoltà: media
15

Introduzione

La meccanica è lo studio delle variazioni che subiscono i corpi nello spazio. Lo scopo principale della meccanica è basato sulla ricerca degli integrali del moto. Partiremo dall'equazione di Lagrange in un sistema meccanico ad "s" gradi di libertà con 2 costanti arbitrarie, quali, le coordinate del punto e la velocità iniziale di un sistema. Da tale sistema, eliminando la variabile del tempo, è possibile ricavare in ognuno di questi sistemi, le coordinate del punto e le velocità ad essi associate che rimangono costanti. Queste due funzioni sono dette integrali del moto. Ricordiamo però che nello studio del moto, come sappiamo, non sempre si avranno delle coordinate cartesiane, infatti potrà succedere che, ad esempio, nello studio del moto di rotazione di un sistema meccanico, nel caso di un pendolo che ruota attorno al suo asse che viene considerato fisso, bisognerà definire, infatti, un angolo. Di conseguenza, il sistema avrà un solo grado di libertà. Le funzioni delle quali abbiamo parlato sono le soluzioni delle equazioni differenziali del moto, nello studio della meccanica dei corpi che (grazie a Newton,) descriveremo sempre come di secondo ordine. In questa guida vedremo come calcolare l'equazione del moto in un sistema meccanico svolgendo un esercizio di esempio.

25

Occorrente

  • manuale di meccanica
  • carta e penna
35

Partendo da queste conoscenze di base diremo che l'equazione generica del moto per essere risolta si base da questi elementi che devono essere noti. Vediamo insieme come applicare queste conoscenze per calcolare le equazioni del moto svolgendo un esercizio: Immaginiamo di avere un asta rigida, monodimensionale, nel piano, posizionata a 45° in un sistema di riferimento x, y, di assi cartesiani, vincolata mediante una cerniera (intesa come vincolo olonimo-liscio, dunque priva di attrito) di lunghezza L e di peso P che ruota liberamente nello spazio.

45

Andiamo ad analizzare il vincolo. La cerniera posta all'origine del nostro sistema di assi cartesiani x, y, consente all'asta di compiere due rotazioni che chiameremo con le lettere greche rispettivamente ϑ e ϕ. Procediamo utilizzando l'equazione di Lagrange poiché consideriamo il peso distribuito (P/L) e la caratteristica del vincolo che è liscio per calcolare il lavoro compiuto dal carico per unità di lunghezza (P/L) dell'asta, ipotizzando un punto P1, compreso tra 0 ed L, sull'asta, in direzione z che dipende dalla rotazione ϑ. Dunque il lavoro L sarà dato dal peso P moltiplicato per L/2 per il coseno dell'angolo ϑ. È possibile calcolare il lavoro anche considerando il peso P applicato al suo baricentro G, in questo caso avremo sempre lo stesso risultato, ovvero: L=PxL/Lxcos ϑ.

Continua la lettura
55

Calcoliamo l'energia cinetica tramite la sua definizione, considerando il peso per unità di lunghezza, quindi, il tempo sarà dato da: T=1/6 PxL2 ³(ϑ˙ 2 + ˙ϕ2 sin2 ϑ). Otterremo le equazioni del moto tramite l'equazione Lagrangiana L = T + U = 1/ 6 ML2 ³ ϑ˙ 2 + ˙ϕ2 sin2 ϑ ´ + p/ L 2 cos ϑ da cui si ricava il sistema di equazioni differenziali del moto, che andremo ad integrare dopo aver assegnato i valori numerici iniziali.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Come calcolare la resistenza al moto

Nel'ambito della fisica, il moto è ogni mutamento di posizione di un corpo. Tali cambiamenti sono però legati ad una serie di fattori (ovvero di forze), che danno origine al moto stesso. Lo studio di tali forze prende il nome di "dinamica". Esiste una...
Università e Master

Come risolvere un problema di fisica sul moto circolare

Un punto materiale che si muove con traiettoria circolare accelerazione costante è definito in moto circolare uniformemente accelerato. Nell'analisi di questo moto di fondamentale importanza applicativa possiamo incontrare vari punti di interesse come...
Università e Master

Come applicare l'equazione di continuità al tubo di flusso

Un tubo di flusso è definito dallo spazio individuato dalla superficie tubolare che si forma lasciando una linea di flusso passante per ogni punto di una superficie chiusa, che non sia essa stessa una linea di flusso. Essendo il tubo di flusso l'insieme...
Università e Master

Come Verificare Le Leggi Del Moto Uniforme

In fisica l'equazione del moto descrive il movimento di un sistema in funzione della posizione nello spazio e del tempo. L'equazione che caratterizza l'andamento della posizione in funzione del tempo è detta legge oraria. Un sistema meccanico con n gradi...
Università e Master

Come risolvere una equazione diofantea

Un'equazione diofantea è un'equazione algebrica in una o più incognite di cui si cercano le soluzioni intere. Prende il nome dal matematico Diofanto, vissuto nel III secolo d. C., noto per l'epitaffio che permette di calcolare l'età della sua morte...
Università e Master

Come risolvere un'equazione differenziale

Questo articolo è rivolto a tutti gli studenti dell'università di matematica, ingegneria e fisica. Un'equazione differenziale è un'equazione della forma y^(n (x))=f (y^{(n-1)},.., y'', y', y, x) dove f (y^{(n-1)},..., y'', y', x) è una funzione...
Università e Master

Come dimostrare l'equazione di stato dei gas

L'equazione di stato dei gas perfetti, nota anche come legge dei gas perfetti, descrive le condizioni fisiche di un "gas perfetto" o di un gas "ideale", correlandone le funzioni di stato: quantità di sostanza, pressione, volume e temperatura. Venne formulata...
Università e Master

Come risolvere un'equazione differenziale a variabili separabili

Vediamo insieme come risolvere un'equazione differenziale a variabili separabili: si trovano in alcune discipline. Di solito riguardano l'ingegneria è un concetto di equazione differenziale si presenta in vari contesti teorici e applicativi è fondamentale...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.