Come calcolare l'asintoto obliquo nelle funzioni

Tramite: O2O 25/09/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica ci sono alcuni concetti che possono essere fonte di incomprensione se non vengono affrontati sin dall'inizio in maniera appropriata. Uno di questi è rappresentato dalle funzioni, di cui si devono per esempio studiare domini, limiti e asintoti. La condizione di presenza di un asintoto obliquo si può verificare quando per esempio il polinomio al numeratore è più alto di un grado rispetto al polinomio al denominatore. Per trovare l'inclinazione di questo asintoto, è necessario effettuare una divisione del numeratore con il denominatore. Premesso questo, vediamo nei passi della seguente guida come calcolare l'asintoto obliquo nelle funzioni.

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Concetto di retta

Per comprendere che cos'è un asintoto obliquo si deve conoscere il concetto di retta e la sua espressione in forma esplicita. In questa notazione avremo una relazione fra le variabili "x" ed "y" del tipo lineare, e nello specifico: y = mx+q. La lettera "m" indica un parametro che è detto coefficiente angolare; per trovarlo bisogna dividere la funzione per "x", e calcolarne il limite per x tendente all'infinito. Invece per trovare i coefficiente "q", dobbiamo sottrarre alla funzione il risultato "m" che abbiamo appena trovato, moltiplicandolo per il termine x. L'asintoto è in sostanza una retta che approssima l'andamento della funzione per valori elevati della x.

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Esempio di calcolo

Per essere più chiari, è bene fare un esempio didattico piuttosto semplice. Scegliamo di studiare la funzione y= 3x^2-1 tutto fratto x, per calcolare i coefficienti "m" e "q" e trovare l'eventuale asintoto obliquo. Dobbiamo moltiplicare il denominatore per "x" e come risultato otteniamo: 3x^2-1 tutto fratto x^2. Adesso si deve effettuare un passaggio di limite per x che tende all'infinito e troveremo una forma apparentemente indeterminata, in cui avremo sia al numeratore che al denominatore degli infiniti. In base ad una teoria nota potremo però effettuare ugualmente il calcolo come se si trattasse di valori determinati.

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Calcolo del fattore M

In base alla teoria su infiniti e infinitesimi, se al numeratore e al denominatore ci troviamo termini infiniti, ma che però derivano da polinomi, sarà sufficiente eliminare tutti i termini di ordine inferiore ed effettuare una divisione fra quelli rimanenti. Se il grado maggiore si trova al numeratore, il risultato sarà uguale ad infinito; mentre se si trova al denominatore è 0. Se il grado maggiore è presente nel denominatore e nel numeratore, il risultato sarà dato dalla relazione tra i coefficienti delle x. In questo caso, il grado maggiore sarà uguale in tutta la funzione (x^3) poiché esso è presente sia nel numeratore che nel denominatore. Di conseguenza, avremo un risultato uguale a 3; quindi la nostra M è 3.

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Calcolo del fattore Q

Dobbiamo a questo punto andare a determinare il valore del termine noto "Q". Calcoliamo di nuovo il limite per x che tende all'infinito e sottraiamo MX ovvero 3x, alla funzione. Facciamo il minimo comune multiplo ed otteniamo: 3x^2-1-3x^2 tutto fratto x. I termini che sono opposti al numeratore si eliminano tra loro e resta dunque -1/x. A questo punto sostituiamo infinito alla "x" ed otteniamo 1/infinito. Questa frazione è uguale a 0 ed è il risultato di Q. Quindi posiamo concludere dicendo che la funzione presenta un asintoto obliquo nel punto y=3; esso si è ricavato dalla prima formula y=mx+q. Rappresentando graficamente la funzione per valori molto alti di x troveremo che è del tutto indistinguibile dalla retta calcolata come asintoto obliquo, in maniera del tutto analoga alla teoria sugli asintoti orizzontali e verticali.

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