Come calcolare l'ascissa di convergenza

Se stai leggendo questo articolo significa che probabilmente hai bisogno di determinare l'ascissa di convergenza per risolvere un problema matematico. Per calcolare il suo valore è però necessario fare un passo indietro, partendo dalla definizione di trasformata di Laplace, cioè la funzione in cui emerge l'ascissa di convergenza. La trasformata di Laplace è utilizzata per semplificare le equazioni differenziali in equazioni algebriche, le quasi sono più facili da integrare. La trasformata di Laplace è definita dalla formula: Y (s) = int {e^-st * y (t) * dt, in cui l'integrale è fra 0 e infinito, y (t) è la funzione del tempo con t>0 e s è una variabile complessa che rende convergente l'integrale, permettendo l'esistenza di Y (s). Per ogni y (t) è necessario determinare un'ascissa di convergenza nel piano complesso di Y (s). Vediamo come calcolarne il valore qui di seguito.

Con il nome di ascissa di convergenza (indicata con il simbolo c) si identifica la variabile che rende sommabile, ovvero integrabile, la funzione di Laplace. L'ascissa di convergenza permette di determinare il campo di esistenza della funzione Y (s). Infatti, se tracciamo idealmente una retta parallela all'asse che passa per c, il dominio di Y (s) equivale al semipiano posto alla destra di c. In altre parole, l'ascissa di convergenza divide in due lo spazio gaussiano così che alla sua destra sia integrabile, mentre alla sua sinistra non lo sia. L'ascissa di convergenza assume alternativamente il valore di 0 o di -infinito a seconda dei casi.

Prima di determinare il valore dell'ascissa di convergenza è importante capirne il ruolo. Osserviamo il prodotto sotto integrale tra e elevato a -st e la funzione di t, ovvero: e^-st * y (t). Solitamente un esponente negativo converge sempre, ma la presenza di s può creare squilibrio. Determinare correttamente il valore dell'ascissa di convergenza fa in modo che ci sia sempre convergenza assoluta. In un intervallo da 0 a +infinito, l'ascissa di convergenza assume il valore di 0, altrimenti s avrebbe un valore negativo e l'esponente diventerebbe positivo, quindi tenderebbe a infinito (cioè divergerebbe) invece di convergere. Al contrario se il dominio di integrazione è differente e il segno dell'esponente non è influenzato dalla funzione, allora l'ascissa di convergenza assume valore -infinito perché non c'è rischio di divergenza.

Come abbiamo detto nei punti precedenti, dobbiamo determinare il valore di c in modo che la trasformata di Laplace abbia convergenza assoluta. Con una formula, il campo di esistenza della funzione deve essere Re (s) > c, con c come ascissa di convergenza. Quindi l'integrale da 0 a infinito della funzione per e^-st deve convergere. Facendo un esempio, nel caso della funzione: int {e^-7it e^-st} = int {e*-(s+7i) t} si deduce che Re (s) > 0, quindi l'ascissa di convergenza ha il valore 0. Seguendo con attenzione queste indicazioni è possibile determinare il valore dell'ascissa di convergenza c in ogni situazione.

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