Come calcolare l'area di una superficie curva

Tramite: O2O 16/04/2016
Difficoltà: media
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Introduzione

Per una corretta e precisa risoluzione di una grande quantità di problemi di tipo matematico e fisico, la rappresentazione grafica del caso in esame, può risultare molto utile o addirittura fondamentale. Capita, tuttavia, che il grafico risultante da questa operazione non sia di facile interpretazione e presenti una superficie delimitata da una linea curva irregolare, che rende difficile calcolare dell'area ad essa sottostante. Nonostante sia indubbiamente più complicato del calcolo che comportano funzioni semplici, anche questo tipo di problema si può facilmente risolvere: vediamo come.

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Premettiamo che esistono diversi metodi che permettono di raggiungere il fine richiesto. Si può infatti utilizzare un programma specifico per il disegno ed il calcolo o l'utilizzo di un planimetro, entrambi strumenti che seppur molto diversi tra loro richiedono una certa esperienza e per quanto riguarda il secondo anche di denaro. Verranno quindi di seguito proposti due metodi realizzabili direttamente sulla carta che sfruttano proprietà matematiche, ovvero il metodo degli integrali e quello dei trapezi.

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Per quanto riguarda il primo dei metodi citati, è interessante sapere che questo tipo di applicazione del calcolo integrale è quella in assoluto più utilizzata, giustificando così la loro importanza. Questa procedura si basa sull'eseguire un calcolo dato da una formula, infatti data una funziona f (x) definita su un intervallo [a, b], se f assume soltanto valori positivi, le due rette di equazione x=a e x=b, l'asse delle ascisse e il grafico della funzione è data dalla formula: Integrale avente come limite inferiore a e limite superiore b di f (x) dx se f (x) è maggiore uguale a zero e per ogni x appartenente ad [a, b]. Nel caso invece in cui i valori che assume f nell'intervallo siano negativi, la formula restituisce l'area cambiata di segno perciò basta aggiungere un meno al suo inizio.

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Per quanto riguarda il primo dei metodi citati, è interessante sapere che questo tipo di applicazione del calcolo integrale è quella in assoluto più utilizzata, giustificando così la loro importanza. Questa procedura si basa sull'eseguire un calcolo dato da una formula, infatti data una funziona f (x) definita su un intervallo [a, b], se f assume soltanto valori positivi, le due rette di equazione x=a e x=b, l'asse delle ascisse e il grafico della funzione è data dalla formula: Integrale avente come limite inferiore a e limite superiore b di f (x) dx se f (x) è maggiore uguale a zero e per ogni x appartenente ad [a, b]. Nel caso invece in cui i valori che assume f nell'intervallo siano negativi, la formula restituisce l'area cambiata di segno perciò basta aggiungere un meno al suo inizio.

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Il metodo dei trapezi consiste invece nell'approssimare la curva ad una linea spezzata e suddividere la superficie che va da a a b (con le stesse convenzioni descritte precedentemente) in un numero n di intervalli della stessa lunghezza, per poi individuarne le altezze e sommare le aree di tutti i trapezi. Questa procedura darà comunque un risultato approssimato, la cui lontananza dal numero reale dipende comunque dal numero di trapezi in cui si è suddivisa l'area (più sono, più è corretta).

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