Come calcolare l'area di un quadrato inscritto in un cerchio

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Calcolare l'area di figure come quadrati e cerchi sono problemi molto comuni quando si inizia a studiare la geometria. Un passo intermedio in questo processo di apprendimento è combinare le due forme. Ad esempio, se si disegna un quadrato e successivamente si traccia un cerchio all'interno del poligono, in modo che quest'ultimo riesca a toccare tutti i quattro lati del quadrato, è possibile determinare l'area totale dello spazio presente all'interno del poligono e all'esterno del cerchio. A questo proposito, vediamo qui di seguito alcuni brevi passi che vi aiuteranno a capire come calcolare l'area di un quadrato inscritto in un cerchio.

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Nozione

Il poligono ABCD, che ha i suoi vertici sulla circonferenza di centro O, si dice inscritto in essa, e la circonferenza si dice circoscritta al poligono. Per cui un poligono è circoscritto alla circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti a quella circonferenza. Un poligono è inscrittibile quando esiste una circonferenza passante per tutti i suoi vertici; è circoscrittibile quando esiste una circonferenza inscritta in esso, cioè tale che tutti i lati del poligono siano tangenti ad essa. Se dividete una circonferenza in tre o più parti uguali e congiungete successivamente i punti di divisione, otterrete un poligono regolare inscritto nella circonferenza.

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Premessa

Il centro O della circonferenza circoscritta è il centro del poligono, il suo raggio si dice anche raggio del poligono, e la distanza OK del centro O da un qualunque dei lati è l'apotema del poligono. L'apotema di un poligono regolare circoscritto ad una circonferenza è uguale al raggio. Fatte queste premesse e ricordando che il quadrato è un particolare rettangolo avente la base uguale all'altezza, la sua area si ottiene con la seguente regola: l'area di un quadrato è uguale al prodotto della misura del lato per se stessa, cioè al quadrato del lato.

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Calcolo

Perciò indicando con la l la misura del lato del quadrato e con A la misura della sua area, si ha: A=l al quadrato, ed estraendo la radice quadrata dei due membri dell'uguaglianza si ricava l=radice quadrata A, cioè la misura del lato di un quadrato si ottiene estraendo la radice quadrata della sua area. Per cui se a diagonale del quadrato inscritto in un cerchio è uguale al suo diametro, ne consegue che il lato del quadrato è uguale alla diagonale fratto radice quadra di due. Occorre poi moltiplicare per quattro il lato per avere la misura del perimetro che a sua volta va moltiplicata al quadrato per trovare la misura dell'area.

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