Come calcolare l'area di un poligono circoscritto

Un poligono circoscritto è un poligono i cui lati sono tutti tangenti un cerchio(ovvero toccano il cerchio in almeno un punto, per ogni lato), disegnato all'interno del poligono stesso. Nel seguente articolo esamineremo le formule più semplici e dirette ed impareremo come calcolare l'area di un poligono circoscritto.

Un poligono circoscritto ad un cerchio è, per definizione, equivalente ad un triangolo:
1) La cui base è equivalente al perimetro del poligono;2) La cui altezza è equivalente al raggio del cerchio.
Vediamo perché:
Se congiungiamo il centro (O) del cerchio, con i vertici del poligono, la figura che ne risulterà sarà il nostro poligono, scomposto in triangoli, tanti quanti il numero dei lati del poligono. Chiamiamo i triangoli A, B, C, D, E, e così via, a seconda del loro numero. Ognuno dei triangoli ha come base un lato del poligono. L'altezza di ogni triangolo è rappresentata dal raggio (r) del cerchio, che per ogni triangolo partirà dal vertice superiore (ovvero il vertice O del cerchio) e raggiungerà il punto di tangenza del cerchio con la base del triangolo disegnato.
Matematicamente sappiamo che dati un numero N di triangoli, la loro somma (nel nostro caso A+B+C+D+E...ecc) è equivalente ad un triangolo (che chiamiamo X), che ha:
1) La propria base uguale alla somma delle basi dei triangoli A, B, C, D, E...2) La propria altezza uguale all'altezza di ciascun triangolo (ovvero r = raggio del cerchio).

Possiamo quindi facilmente dedurre che la base di X, essendo uguale alla somma delle basi di A, B, C, D, E ..., è equivalente al perimetro (ovvero la somma dei lati) del poligono.

Sapendo che l'area di un triangolo si ricava con il procedimento seguente:
A = (b x h) / 2
Ovvero:
Area del triangolo (A) = a base (b) per altezza (h), diviso 2.
Considerando che nel caso del poligono circoscritto (dato il ragionamento contenuto nel passo precedente):
1) La base (b) è uguale al perimetro del poligono;2) L'altezza (h) è uguale al raggio del cerchio.
Possiamo ricavare la seguente formula per calcolare l'area del poligono circoscritto:
A = (P x r) / 2
In cui :
A = area del poligono circoscritto; P = perimetro del poligono circoscritto; r = raggio del cerchio.
Possiamo concludere quindi dicendo che l'area di un poligono circoscritto è uguale al perimetro del poligono (ovvero la somma dei lati del poligono), moltiplicato per il raggio del cerchio inscritto nel poligono ed infine diviso per due.

Le formule inverse saranno quindi, rispettivamente:
1) P = (A x 2) / r, per calcolare il perimetro del poligono;2) r = (A x 2) / P, per calcolare il raggio del cerchio.
Ora che avete tutte le informazioni necessarie per calcolare l'area di un poligono circoscritto, non vi resta che iniziare a fare un po' di esercizio, applicando le formule appena illustrate.