Come calcolare l'area di un poligono circoscritto

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Un poligono circoscritto è un poligono i cui lati sono tutti tangenti un cerchio(ovvero toccano il cerchio in almeno un punto, per ogni lato), disegnato all'interno del poligono stesso. Nel seguente articolo esamineremo le formule più semplici e dirette ed impareremo come calcolare l'area di un poligono circoscritto.

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Definizione

Un poligono circoscritto ad un cerchio è, per definizione, equivalente ad un triangolo:
1) La cui base è equivalente al perimetro del poligono;2) La cui altezza è equivalente al raggio del cerchio.
Vediamo perché:
Se congiungiamo il centro (O) del cerchio, con i vertici del poligono, la figura che ne risulterà sarà il nostro poligono, scomposto in triangoli, tanti quanti il numero dei lati del poligono. Chiamiamo i triangoli A, B, C, D, E, e così via, a seconda del loro numero. Ognuno dei triangoli ha come base un lato del poligono. L'altezza di ogni triangolo è rappresentata dal raggio (r) del cerchio, che per ogni triangolo partirà dal vertice superiore (ovvero il vertice O del cerchio) e raggiungerà il punto di tangenza del cerchio con la base del triangolo disegnato.
Matematicamente sappiamo che dati un numero N di triangoli, la loro somma (nel nostro caso A+B+C+D+E...ecc) è equivalente ad un triangolo (che chiamiamo X), che ha:
1) La propria base uguale alla somma delle basi dei triangoli A, B, C, D, E...2) La propria altezza uguale all'altezza di ciascun triangolo (ovvero r = raggio del cerchio).

Possiamo quindi facilmente dedurre che la base di X, essendo uguale alla somma delle basi di A, B, C, D, E ..., è equivalente al perimetro (ovvero la somma dei lati) del poligono.

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Procedimento

Sapendo che l'area di un triangolo si ricava con il procedimento seguente:
A = (b x h) / 2
Ovvero:
Area del triangolo (A) = a base (b) per altezza (h), diviso 2.
Considerando che nel caso del poligono circoscritto (dato il ragionamento contenuto nel passo precedente):
1) La base (b) è uguale al perimetro del poligono;2) L'altezza (h) è uguale al raggio del cerchio.
Possiamo ricavare la seguente formula per calcolare l'area del poligono circoscritto:
A = (P x r) / 2
In cui :
A = area del poligono circoscritto; P = perimetro del poligono circoscritto; r = raggio del cerchio.
Possiamo concludere quindi dicendo che l'area di un poligono circoscritto è uguale al perimetro del poligono (ovvero la somma dei lati del poligono), moltiplicato per il raggio del cerchio inscritto nel poligono ed infine diviso per due.

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Formule inverse

Le formule inverse saranno quindi, rispettivamente:
1) P = (A x 2) / r, per calcolare il perimetro del poligono;2) r = (A x 2) / P, per calcolare il raggio del cerchio.
Ora che avete tutte le informazioni necessarie per calcolare l'area di un poligono circoscritto, non vi resta che iniziare a fare un po' di esercizio, applicando le formule appena illustrate.

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