Come calcolare l'area di un decagono

Tramite: O2O 10/09/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

Il decagono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. E? composto da dieci lati uguali, dieci vertici e dieci angoli uguali, pari a 144°. Di fatto è un poligono di tipo semplice perché i lati non si intersecano, ed è anche convesso perché i suoi angoli interni sono minori dell?angolo piatto (180°). A seconda dei dati a disposizione, possiamo trovare l?area in diversi modi. Vediamo come calcolare l'area di un decagono, partendo dai metodi più semplici applicabili nel campo della geometria euclidea e alla fine vedremo anche un metodo algebrico.

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Occorrente
  • calcolatrice
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Ripasso

Ripassiamo alcuni termini fondamentali per l?argomento affrontato. L?apotema di un poligono è il raggio della circonferenza inscritta ed è anche la distanza tra il centro del decagono e il lato: quindi è l?altezza di un triangolo avente per base un lato qualsiasi del poligono ed altezza l?apotema stesso. Il raggio di un poligono e? il raggio della circonferenza circoscritta a un poligono cioè la linea che congiunge il centro ad un qualsiasi vertice.

Ripassiamo alcune formule che possono essere utili.
Esiste una relazione tra il lato del poligono e l?apotema: Apotema = 1,539 * Lato
Per il calcolo del perimetro, la formula è la seguente: Perimetro = Lato * 10.

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Calcolo dell'area tramite il lato

Se abbiamo a disposizione la dimensione del lato, possiamo applicare una formula semplice che però è anche approssimata, in quanto utilizza un numero fisso che è troncato ad una certa cifra decimale.
La formula è: Area= Lato x Lato x 7,69421
Esiste anche un?altra formula meno analoga che sfrutta un altro numero fisso approssimato:
Area= (Lato x 1,539/2) x Perimetro.

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Calcolo dell'area tramite il lato e apotema

Se invece abbiamo a disposizione la dimensione del lato e dell?apotema, possiamo calcolare l?area del triangolo base e moltiplicarla per 10:
Area =(Lato x Apotema /2) x 10 =Lato x Apotema x 5
Che è equivalente alla seguente: Area = (Perimetro x Apotema)/2.

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Calcolo dell'area con formule algebriche

Esistono anche alcuni metodi più complessi, usati in campo algebrico più che geometrico. L?area di un poligono regolare si può calcolare, note le coordinate cartesiane dei vertici, con la formula dell?area di Gauss, un algoritmo inventato dal celebre matematico. Sia n il numero dei lati del poligono, Xi ed Yi siano le coordinate dei vertici, con i che va da 1 ad n. L'area si calcola come il valore assoluto dei prodotti tra le coordinate dei vertici, come segue:

A=1/2 |x1y2+x2y3+?.+xn-1yn+xny1-x2y1-x3y2-?-xnyn-1-x1yn|

Quest'ultima formula vale per tutti i poligoni regolari. Nel nostro caso, dato che stiamo parlando di un decagono dovremmo porre n=10.

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