Come calcolare l'aerea di una funzione a due variabili

Tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

In questa guida scoprirai come calcolare l'area di una funzione a due variabili. Nel caso di funzioni a più variabili, scegliere il dominio di integrazione non è poi così scontato. Per semplicità faremo riferimento sceglieremo gli insiemi dominio di integrazione quelli racchiuso nel grafico di una funzione ciascuna della quali sarà continua nel suo intervallo di definizione. Ogni dominio di integrazione D sarà chiuso e limitato. Dimostrando i passaggi per le funzioni continue permetterà di carpire le basi del calcolo dell'aerea di queste funzioni complesse. Definito l'insieme D un certo insieme di integrazione nel piano (x, y), supponiamo che esista una funzione valida nell'intervallo di definizione il quale è scomposto in intervalli più piccoli Da,... Db... Dx in cui Dz è un trapezoide (o differenza tra due diversi trapezoidi definiti da due funzioni relative ad uno stesso dominio). I passi da seguire sono i seguenti: dominio del'integrale nel campo (x, y), definizione del dominio dei due trapezoidi ed infine somma sei due trapezoidi all'interno del dominio D.

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Occorrente

  • basi di matematica 1
  • saper svolgere gli integrali
  • saper svolgere uno studio di funzione
  • 60 minuti del tuo tempo
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Calcolo dell'area delle due funzioni

L'integrale relativo ad una funzione si definisce come f (x, y) che insiste sul trapezoide T di una funzione g (x) definita in un intervallo chiuso e limitato (a, b). Il trapezoide D è definito da una base, a-b, e da una altezza m-M. Sia m=min g (x) ed M = Max g (x).
Definito ciò bisogna necessariamente dividere l'intervallo di definizione a-b in tanti piccoli intervalli (H) tutti chiusi e limitati. All'interno di questi intervalli definiamo i punti a0=a a1= b.... As= (a+s (b-a)/H). Definiti i rettangoli di base definiamone l'altezza che, per forza di cose, deve essere la massima possibile da essere contenuta in T.
Si suddivida l'intervallo m-M in tanti Y tutti uguali, analogamente al passaggio precedente. Abbiamo così ottenuto il trapezoide relativo alla funzione espressa da tanti rettangoli di lunghezza as e altezza Y () ciascuno dei quali ha area ((b-a)/H (M-m/Y). Si indichi con il simbolo di unione U la loro unione in un unica figura.

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Osservazione del caso

Nei passaggi soprastanti, nessuno dei rettangoli va al di fuori dell'intervallo di definizione, ossia nessuno risulta a cavallo di g (x). Inoltre l'unione dei vari rettangolini è inclusa nell'intervallo di definizione di T per cui, alla fine, U=T. Ciò non toglie che possano esistere dei casi in cui si vada a cadere in qualche integrale indefinito (U potrebbe essere diverso dall'insieme di arrivo T) sotteso ad una funzione definibile e calcolabile solo mediante le regole fondamentali del calcolo integrale.

Continua la lettura
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Aspetti a contorno dell'esercizio

Le funzioni che abbiamo analizzato (relative alle dimensioni dei rettangoli) sono positive poiché attengono a definire un solido che ha un'area ben precisa. Nel corso dello svolgimento degli esercizi, però, potrà saltare fuori qualche valore negativo. A quel punto o si riguarda l'esercizio durante tutto il suo svolgimento oppure, semplicemente, ci si è imbattuti in un caso particolare.

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Guarda il video

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Una volta che hai appreso i concetti fondamentali, confrontati con gli esercizi che trovi al link nella guida
  • Se non ti chiaro qualche passaggio, vai a rivedere i concetti base del calcolo integrale
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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