Come calcolare il volume di un ovale

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il calcolo del volume di un solido è un procedimento lungo e laborioso che viene compiuto mediante l'utilizzo di un integrale. Prima di lanciarci nella spiegazione di come calcolare il volume di un solido occorre precisare che non tutti gli enti geometrici possiedono un volume, infatti gli enti geometrici che si estendono solo in due dimensioni (le figure piane) come ad esempio un ovale o un rettangolo non possiedono un volume, ma solo un'area. Di conseguenza prima di lanciarvi nell'impresa inutile di calcolare un integrale triplo per una figura piana controllate bene qual è l'oggetto che state considerando.

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Occorrente

  • Penna
  • Quaderno
  • Formulario di Integrali Immediati
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Il primo passo è identificare il tipo di solido del quale volete calcolare il volume e scrivere la sua equazione in forma corretta, in modo da trovare eventuali "scorciatoie" per finire in fretta il nostro calcolo. Prendiamo come esempio un ellissoide, la cui forma ed equazione in uno spazio a 3 dimensioni è esposta nell'immagine accanto. Se due dei tre coefficienti (a, b e c) sono uguali il calcolo dell'integrale diventa molto più semplice e la figura viene definita come uno sferoide prolato o oblato. Se invece tutti e tre sono uguali la figura diventa una sfera, il cui integrale è immediato e tabulato.

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Il secondo passo è trasformare l'equazione in coordinate sferiche o cilindriche. Continuando ad utilizzare l'esempio precedente dell'ellissoide le coordinate sferiche sono più semplici da utilizzare rispetto a quelle cilindriche. La conversione va fatta seguendo lo schema qui a fianco, riportato nell'immagine. Fare la sostituzione in coordinate sferiche comporta il calcolo dello Jacobiano, un termine che viene calcolato costruendo la matrice jacobiana e calcolandone il determinante. Questo termine va moltiplicato all'integrale in seguito alla sostituzione. Fate molta attenzione durante il calcolo dello jacobiano, è determinante per la riuscita dell'integrale.

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Una volta fatta la sostituzione e aver moltiplicato il tutto per lo jacobiano dovremmo avere ottenuto un integrale triplo molto più semplice da gestire. Dovete "separare" gli integrali, ovvero associare per ogni integrale una variabile con la propria funzione e moltiplicarli l'uno con l'altro. Il risultato sarà generalmente 3 piccoli integrali immediati, se avete scelto il metodo di sostituzione corretto. Se il risultato della sostituzione risulta più complesso e difficile da utilizzare tornate indietro e ricominciate dall'inizio, facendo bene attenzione al calcolo della matrice jacobiana. Il metodo di sostituzione purtroppo funziona bene solo se la sostituzione è conveniente, ma se quella prescelta sia o meno conveniente lo si scopre solo alla fine del procedimento.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Controllate bene ogni calcolo prima di procedere con il passo successivo
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