Come calcolare il volume di un ovale

Il calcolo del volume di un solido è un procedimento lungo e laborioso che viene compiuto mediante l'utilizzo di un integrale. Prima di addentrarci nella spiegazione di come calcolare il volume di un solido, occorre precisare che non tutti gli enti geometrici possiedono un volume, infatti gli enti geometrici che si estendono solo su due dimensioni (le figure piane), non possiedono ovviamente un volume. Discorso differente per ciò che riguarda altre figure geometriche, sulle quali è invece possibile calcolare il volume. Nello specifico di questa guida, dunque, vi illustreremo come calcolare il volume di una figura ovale.

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Per ciò che riguarda l'ovale o ellisse, è importante comprendere che si tratta di una forma geometrica che corrisponde ad un cerchio leggermente allungato. Accade assai di frequente nella matematica che possa capitare di dover calcolare l'area di questa specifica figura. Occorrerà pertanto partire in primo luogo, come abbiamo fatto, da una definizione del concetto di ovale. Ora sarà dunque possibile calcolarne il volume. Vediamo in che modo e quale procedimento seguire.

La prima azione che si dovrà svolgere per il calcolo del volume dell'ovale sarà quella di misurare immediatamente la lunghezza dell'ellisse, dividendola in due parti esattamente eguali fra loro. Occorrerà in pratica calcolare quello che viene definito "il primo raggio". Dopo aver effettuato la misurazione, occorrerà misurare anche la larghezza dell'ovale, partendo nella misurazione dalla sua parte centrale. Vi ricordiamo che la parte centrale della figura presa in esame sarà rappresentata dalla metà della lunghezza dell'intero ellisse. Quando dunque conoscerete la misura della larghezza dell'ellisse, potrete procedere al calcolo del suo volume.

A tal proposito, il primo passo sarà quello di identificare il tipo di solido del quale volete calcolare il volume. Dovrete dunque scrivere la sua equazione in forma corretta, in modo da trovare eventuali "scorciatoie" per finire in fretta il vostro calcolo. Prendiamo come esempio un ellissoide, la cui forma ed equazione in uno spazio a 3 dimensioni è risulta forse essere l'esempio migliore per calcolarne in volume. Se due dei tre coefficienti (a, b e c) sono uguali, il calcolo dell'integrale diventa molto più semplice e la figura viene definita come uno sferoide prolato o oblato. Se invece tutti e tre sono uguali, la figura diventa una sfera, il cui integrale è immediato e tabulato.

Il secondo passo è trasformare l'equazione in coordinate sferiche o cilindriche. Continuando ad utilizzare l'esempio precedente dell'ellissoide, le coordinate sferiche sono più semplici da utilizzare rispetto a quelle cilindriche. Fare la sostituzione in coordinate sferiche, comporta il calcolo dello Jacobiano, un termine che viene calcolato costruendo la matrice jacobiana e calcolandone il determinante. Questo termine va moltiplicato all'integrale in seguito alla sostituzione. Fate molta attenzione durante il calcolo dello jacobiano, è determinante per la riuscita dell'integrale.

Una volta fatta la sostituzione e aver moltiplicato il tutto per lo jacobiano, dovremmo avere ottenuto un integrale triplo molto più semplice da gestire. Dovete "separare" gli integrali, ovvero associare per ogni integrale una variabile con la propria funzione e moltiplicarli l'uno con l'altro. Il risultato sarà generalmente rappresentato da 3 piccoli integrali immediati. Se avete scelto il metodo di sostituzione corretto. Se il risultato della sostituzione risulta più complesso e difficile da utilizzare, tornate indietro e ricominciate dall'inizio, facendo bene attenzione al calcolo della matrice jacobiana. Il metodo di sostituzione purtroppo funziona bene solo se la sostituzione è conveniente, ma se quella prescelta sia o meno conveniente, lo si scopre solo alla fine del procedimento.

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