Come calcolare il seno di un angolo

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Per calcolare il seno di un angolo abbiamo bisogno di definire prima alcuni concetti. Quando infatti cerchiamo di calcolare il seno di un angolo, vuol dire che ci stiamo riferendo ad una circonferenza goniometrica.
Questa circonferenza ha per centro l'origine di un sistema di riferimento (0;0) e raggio pari a 1. La sua equazione sarà dunque (x^2+ y^2) = 1.

Il punto A (1;0) è detto origine degli archi, che supponiamo orientati positivamente secondo il verso antiorario.
Quindi, dato un angolo α il punto P, secondo estremo dell'arco di circonferenza sotteso dall'angolo α, si chiama punto goniometrico (o punto associato all'angolo α). Da ciò definiamo il coseno di α "cosα" come l'ascissa del punto goniometrico P; mentre il seno di α, indicato con la scritta "senα", verrà definito dall'ordinata del punto goniometrico P.
Vediamo adesso come calcolare il seno di un angolo.

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Occorrente

  • Penna e foglio
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Prima Relazione Fondamentale della Goniometria

In definitiva ogni punto della circonferenza goniometrica ha coordinate P (cosα; senα) e vale la seguente relazione: (cos α * cos α) + (sen α * sen α) = 1, che rappresenta l'equazione della circonferenza goniometrica.

Poiché P soddisfa l'equazione della circonferenza goniometrica (x*x) + (y*y) = 1; se sostituiamo i valori di P (cosα; senα) nell'equazione, otteniamo la prima relazione fondamentale della goniometria. La curva (grafico della funzione seno) che nel piano cartesiano rappresenta l'andamento della funzione seno si definisce sinusoide

.

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Quanto vale il seno di un angolo?

Pertanto esistono dei valori prefissati di seno, così come per il coseno, per determinati angoli. Quindi come comportarsi quando si vuole calcolare il seno di un angolo? Dipende appunto dall'ampiezza dell'angolo.

Ci sono ampiezze che vengono ricondotte ad angoli di cui si conosce il valore di seno e coseno, per altri valori invece basterà ricorrere all'uso di una calcolatrice scientifica. Gli angoli di cui si conoscono i valori di seno e coseno sono: 0, 18, 30 (π/6) , 45 (π/4), 60 (π/3) e 90 (π/2). Questi sono stati ricavati applicando il Teorema di Pitagora e le formule per i triangoli rettangoli con angoli notevoli (30°, 45° e 60°).

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Il seno degli angoli associati

Da questi 6 valori (che sono gli unici da ricordare) possiamo trovarne altri associati ad angoli differenti. Potremmo infatti ricavare i valori del sen α per angoli ottenuti come somma o differenza dell'angolo α con gli angoli principali della circonferenza goniometrica (π/2; π; 3/2 π; 2π)
Partendo dall'angolo di 45 gradi possiamo quindi conoscere anche il valore del seno di un angolo di 135 gradi, o 225 gradi e così via. In altre parole basterà applicare le seguenti relazioni π - α, π + α, 2π - α e -α per ricavare tutti gli angoli associati a questi 6 angoli noti.

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