Come calcolare il segno di un trinomio di secondo grado

Tramite: O2O 10/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Ci sono alcuni passaggi della matematica che, generazione dopo generazione, risultano ostici a molti studenti. Uno di questi è quello del calcolo del segno di un trinomio di secondo grado e in questa guida andremo pertanto ad affrontare l'argomento in questione in modo semplice. Bisogna innanzitutto definire un trinomio di secondo grado come: f (x)= ax^2+ bx+ c, trinomio in cui il fattore a deve essere necessariamente diverso da 0, in quanto altrimenti si avrebbe a che fare con un trinomio di primo grado. Determinare il segno di un trinomio di secondo grado, significa sostanzialmente stabilire per quali valori di x esso è positivo o negativo. Infatti, a seconda del segno del Delta, saremo in grado di capire che valore hanno le radici della funzione (essendo di secondo grado il trinomio ammetterà due soluzioni distinte o coincidenti) e in quali intervalli la funzione sarà positiva o negativa. Nei prossimi paragrafi andremo quindi a vedere come calcolare il segno di un trinomio di secondo grado.

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Determinazione del Delta

Il primo passaggio per la procedura del calcolo del segno, è la determinazione del Delta, o discriminante, applicando la formula convenzionale, cioè b^2-4*a*c. Per farlo basterà ordinare il trinomio dato nella forma base ax^2+ bx+ c e sostituire nella formula del Delta i coefficienti a, b e c. Ad esempio, per la funzione x^2+7x+6>0 il Delta risulterà essere: (7)^2-4(1*6) = 25.
Generalmente esistono tre casi differenti, ossia il Delta individuato potrà essere essenzialmente o positivo (cioè D>0), o nullo (D=0) oppure negativo (D

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Se il Delta è maggiore di 0

In questo caso le radici del trinomio si dicono reali e distinte. Vuol dire che esisteranno due valori: x1 e x2, positivi o negativi, diversi tra di loro. Utilizzando la disequazione data nel paragrafo precedente, x^2+7x+6>0, dove il delta risultava 25, si ottengono come radici i valori reali e distinti di -1 e -6. A questo punto per evidenziare gli intervalli in cui la funzione è positiva o negativa, si valutano i seguenti casi:

1- Radici che hanno segni concordi. In questo caso risulta f (x)>0 e, nel grafico della disequazione (grafico sulla retta orientata), si considerano i valori esterni. In quanto andando tutte e due le radici verso destra, si otterrà un valore positivo solo nei campi esterni (la parte tratteggiata rappresenta il meno, la parte intera il più).
2- Radici che hanno segni discordi. In questo caso f (x)

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Se il Delta è uguale e a 0

In questo caso, le radici dell'equazione sono reali e coincidenti, cioè: x1=x2. Questo sta a significare che nel disegno l'intersezione tra la funzione e l'asse delle ascisse è solo una. Rappresentando graficamente la nostra funzione, potremo infatti vedere che la parabola passa dalla retta delle ascisse solo in un punto.
Per il calcolo del segno del trinomio, in questo caso f (x) avrà lo stesso segno del suo primo coefficiente, qualunque sia il valore attribuito alla x, purché sia x diverso da x1.

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Se il Delta è minore di 0

Nel terzo caso, il valore negativo del determinante sta a significare che non esistono soluzioni reali per il trinomio dato, quindi non vi sarà alcuna intersezione con l'asse delle ascisse all'interno del grafico cartesiano. Quando ci si trova in questa situazione non è possibile trovare i due valori di x1 e x2 e ovviamente nemmeno calcolare il segno del trinomio. In questo caso si dice che la funzione non ammette nessuna radice reale.

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