Come calcolare il segno di un trinomio di secondo grado

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Introduzione

Moltissimi di voi hanno un nemico comune: la matematica. In questa guida vi daremo una mano in un ramo dell'algebra; quello del calcolo del segno di un trinomio di secondo grado. Bisogna innanzitutto definire un trinomio di secondo grado come: f (x)= ax^2+ bx+ c. Il segno del trinomio, di qualsiasi trinomio, si calcola con l'aiuto del determinante della funzione, osservando semplicemente il suo segno. A seconda del segno del delta, saremo infatti in grado di capire che valore hanno le radici della funzione (essendo di secondo grado il trinomio ammetterà due soluzioni).
Dovrete però per prima cosa porvi la domanda fondamentale: come si calcola il delta? La risposta è abbastanza semplice, infatti generalmente per ogni funzione del tipo ax^2+bx+c>0, il calcolo del delta (che verrà chiamato per comodità D) è: b^2-4*a*c. Per una funzione del tipo: 5x^2-6x-8>0 il delta risulta: (6)^2+160.
Generalmente esistono tre casi differenti, ossia il delta potrà essere essenzialmente o positivo (cioè D>0), o nullo (D=0) oppure negativo (D<0). Sarà sufficiente analizzare tutti e tre i casi per poter calcolare il segno del trinomio. Vediamo dunque insieme come procedere.

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Primo caso

Primo caso: D>0
In questo caso le radici del trinomio si dicono reali e distinte. Vuol dire che esisteranno due valori: x1 e x2 positivi o negativi, e diversi tra di loro.
Sottocasi:
1- Radici che hanno segni concordi. In questo caso risulta f (x)>0 e, nel grafico della disequazione (grafico sulla retta orientata), si considerano i valori esterni. In quanto andando tutte e due le radici verso destra, si otterrà un valore positivo solo nei campi esterni (la parte tratteggiata rappresenta il meno, la parte intera il più).
2- Radici che hanno segni discordi. In questo caso f (x) <0 e, per lo stesso motivo di sopra, consideriamo i valori interni.

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Secondo caso

Secondo caso: D=0
In questo caso, le radici dell'equazione sono reali e coincidenti, cioè: x1=x2. Questo sta a significare che nel disegno l'intersezione tra la funzione e l'asse delle ascisse è solo una.
f (x) allora avrà lo stesso segno del suo primo coefficiente, qualunque sia il suo valore attribuito alla x, purché sia x diverso da x1.

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Terzo caso

Terzo caso: D<0Nel terzo caso, il valore negativo del determinante sta a significare che non esistono soluzioni reali per il trinomio dato, quindi non vi sarà alcuna intersezione con l'asse delle ascisse all'interno del grafico cartesiano. Quando ci si trova in questa situazione non è possibile trovare i due valori di x1 e x2.

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