Come calcolare il reciproco di un numero complesso non nullo

Esistono delle particolari situazioni fisiche, per le quali gli strumenti di analisi reale sono poco esaustivi al fine del loro studio. La complicazione che si incontra, generalmente, riguarda l'impossibilità di scrivere in forma elementare le relazioni caratterizzanti tali fenomeni. Si richiede, pertanto, un ampliamento della retta reale e del concetto stesso di numero reale. In questa guida introdurrò il campo dei numeri complessi soffermandomi, in particolare, su come calcolare il reciproco di un numero complesso non nullo.

• Quaderno a quadretti
• Penne di diverso colore

Si consideri il piano euclideo, opportunamente referenziato, nel quale a ciascun suo punto corrisponde un vettore, applicato nell'origine, avete per componenti una coppia di numeri reali. Se a tale spazio vettoriale si attribuiscono le operazioni algebriche di somma, (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d), e di prodotto, (a,b)*(c,d)=(a*c-b*d,a*d+b*c), con tutte le loro proprietà, si sta generando un campo numerico, detto campo complesso, i cui elementi sono tutte le possibili coppie di numeri reali. In particolare, per come è stato definito precedentemente il prodotto, l'operazione (0,1)*(0,1) restituisce come risultato la coppia (-1,0) Un generico elemento (a,b) equivale alla seguente somma (a,0)+(0,b), che può essere riscritta nel seguente modo: (a,0)+(-1,0)(0,-b). Sfruttando il quadrato della coppia (0,1), la precedente somma diviene: (a,0)+(0,1)(0,1)(0,-b) e quindi (a,0)+(0,1)(b,0). Le coppie (a,0) e (b,0) individuano due punti sull'asse delle ascisse, detto asse reale, pertanto esse possono essere riscritte semplicemente come a e b; mentre, la coppia (0,1) individua un punto unitario sull'asse delle ordinate, detto asse immaginario, e ad essa si da il nome di unità immaginaria e la si indica con i, oppure con j. Pertanto la coppia (a,b) equivale alla seguente espressione: a+ib, detta forma algebrica del numero complesso (a,b), nella quale a è detta parte reale e b coefficiente della parte immaginaria. Un altro modo per esprimere un numero complesso è scriverlo in forma trigonometrica. Si riconsideri una coppia di numeri reali (a,b), alla quale è associato un vettore rispetto all'origine del riferimento. Il suo modulo si ottiene applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo avente per cateti le proiezioni ortogonali del vettore sui due assi, e per ipotenusa il vettore stesso. Tramite l'angolo formato con l'asse reale è possibile, usando le relazioni trigonometriche, riscrivere le componenti a e b nel seguente modo: a=mod(z)*cos(arg(z)) e b=mod(z)*sen(arg(z)), dove la lettera z sta ad indicare in maniera compatta il numero complesso. La relazione algebrica a+ib è riscritta al seguente modo: mod(z)*cos(arg(z))+i*mod(z)*sen(arg(z))=mod(z)*(cos(arg(z))+isen(arg(z))), ovvero in forma trigonometrica.

Dato un numero complesso z diverso da 0, si definisce reciproco di z un numero q tale che: z*q=1. Esso si connota in uno dei seguenti modi equivalenti: z^-1, 1/z. La condizione che il numero considerato sia diverso da 0, nasce dall'impossibilità di trovare un numero che moltiplicato per 0 restituisca 1. Tuttavia, si nota che più un numero è prossimo a 0, più il suo reciproco diverge. A limite per z che tende a 0 è possibile affermare che il reciproco di z diverga, positivamente o negativamente, ad infinito; ma non è possibile concludere che il reciproco di 0 sia infinito, in quanto dalla definizione di reciproco si avrebbe una forma indeterminata.

Per ottenere il reciproco di un numero complesso, z=a+ib, è sufficiente calcolare il seguente rapporto: 1/z=1/(a+ib). Se b=0 si ottiene un numero reale, il suo reciproco risulta facilmente calcolabile. Se, invece, a=0 si ottiene un numero immaginario, il cui reciproco è dato dal prodotto di -i per la quantità 1/b. Nel caso più generale la soluzione è più articolata, difatti, bisogna cercare un modo per trasportare l'unità immaginaria del denominatore al numeratore. Si può moltiplicare e dividere per il coniugato del numero complesso, ovvero a-ib, in modo da ottenere al numeratore tale quantità ed al denominatore il modulo quadro del numero complesso, il quale è una quantità reale. Dividendo la parte reale e la parte immaginaria di z per il denominatore, si ottiene il reciproco atteso.

Si considerino i seguenti numeri complessi: z=5, z=-i4 e z=6+i8. Applicando i metodi, precedentemente definiti, si ha che il reciproco di 5 è 1/5=0,2; il reciproco di -4i è -i*(-1/4)=i*0,25; mentre il reciproco di 6+i8 è pari a 1/(6+i8)=(6-i8)/[(6+i8)*(6-i8)]=(6-i8)/(36+64)=(6+i8)/100=0,06+i*0,08. Dalla precedente operazione si nota un fatto molto importante, ovvero che dato un numero complesso z, il reciproco di z è diverso dalla somma dei reciproci di parte reale e immaginaria di z! Ciò discende dalla non linearità dell'operatore di reciproco.

• Indicare la parte reale ed il coefficiente dell'immaginaria con differenti colori, in modo da aiutarti nel calcolo

• http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_complesso
• https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/numeri-complessi.html