Si consideri il piano euclideo, opportunamente referenziato, nel quale a ciascun suo punto corrisponde un vettore, applicato nell'origine, avete per componenti una coppia di numeri reali. Se a tale spazio vettoriale si attribuiscono le operazioni algebriche di somma, (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d), e di prodotto, (a,b)*(c,d)=(a*c-b*d,a*d+b*c), con tutte le loro proprietà, si sta generando un campo numerico, detto campo complesso, i cui elementi sono tutte le possibili coppie di numeri reali. In particolare, per come è stato definito precedentemente il prodotto, l'operazione (0,1)*(0,1) restituisce come risultato la coppia (-1,0) Un generico elemento (a,b) equivale alla seguente somma (a,0)+(0,b), che può essere riscritta nel seguente modo: (a,0)+(-1,0)(0,-b). Sfruttando il quadrato della coppia (0,1), la precedente somma diviene: (a,0)+(0,1)(0,1)(0,-b) e quindi (a,0)+(0,1)(b,0). Le coppie (a,0) e (b,0) individuano due punti sull'asse delle ascisse, detto asse reale, pertanto esse possono essere riscritte semplicemente come a e b; mentre, la coppia (0,1) individua un punto unitario sull'asse delle ordinate, detto asse immaginario, e ad essa si da il nome di unità immaginaria e la si indica con i, oppure con j. Pertanto la coppia (a,b) equivale alla seguente espressione: a+ib, detta forma algebrica del numero complesso (a,b), nella quale a è detta parte reale e b coefficiente della parte immaginaria. Un altro modo per esprimere un numero complesso è scriverlo in forma trigonometrica. Si riconsideri una coppia di numeri reali (a,b), alla quale è associato un vettore rispetto all'origine del riferimento. Il suo modulo si ottiene applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo avente per cateti le proiezioni ortogonali del vettore sui due assi, e per ipotenusa il vettore stesso. Tramite l'angolo formato con l'asse reale è possibile, usando le relazioni trigonometriche, riscrivere le componenti a e b nel seguente modo: a=mod(z)*cos(arg(z)) e b=mod(z)*sen(arg(z)), dove la lettera z sta ad indicare in maniera compatta il numero complesso. La relazione algebrica a+ib è riscritta al seguente modo: mod(z)*cos(arg(z))+i*mod(z)*sen(arg(z))=mod(z)*(cos(arg(z))+isen(arg(z))), ovvero in forma trigonometrica.