Come calcolare il rapporto incrementale di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Uno degli argomenti fondamentali di matematica, studiato dagli alunni delle scuole superiori in poi, è quello delle funzioni. In matematica la funzione vine definita come una relazione tra due insiemi, denominati dominio e codominio (X e Y), che associa ad ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. In formula: f: X → Y. Per rapporto incrementale di f, si intende un numero che indica quanto velocemente cresce oppure decresce la funzione intorno ad un punto determinato, al variare della coordinata indipendente. In questa pratica guida, spiegheremo proprio come calcolare il rapporto incrementale di una funzione reale.

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Occorrente

  • Tanta concentrazione e pazienza
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Definizione generale di rapporto incrementale

DEFINIZIONE GENERALE DI RAPPORTO INCREMENTALE.
Per chiarire il concetto di rapporto incrementale, considerate la seguente funzione:
f: R → R
y = f (x)
con un punto generico x1 del suo dominio.
Sull’intervallo delle ascisse, prendete una lunghezza L.
Quindi:
Δy/Δx : = [f (x1 +L) – f (x1)] / L
Il simbolo "=" segnala che il rapporto di uguaglianza deriva da una definizione.
Come potete vedere, questo rapporto si ottiene dalla frazione tra la differenza delle seguenti ordinate:
f (x1 +L)
f (x1).
Queste corrispondono alle ascisse x1+L e x1 tramite f.
La differenza delle ascisse corrispondenti è pari a "L".
Quindi, il rapporto incrementale Δy/Δx non è altro che la relazione di differenze quantificate, a partire dall’incremento L.

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Valore sf del rapporto incrementale

VALORE Sf DEL RAPPORTO INCREMENTALE.
Se
Δy/Δx := [f (x1 +L) – f (x1)] / L
potete ricavare l’incremento della variabile indipendente.
Δx := (x1 +L) –x1 = (L).
Il valore L deve essere diverso da 0 e tale che (x1 – L) Є X.
Il rapporto incrementale della funzione f nel punto x1, rispetto all’incremento L, è il seguente numero reale Sf:
Sf (x1, L) := Δy/Δx := [f (x1 +L) – f (x1)] / L.
Un determinato rapporto incrementale può essere sinistro o destro, per indicare un valore di incremento rispettivamente minore o maggiore di zero.

Continua la lettura
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Rapporto incrementale in geometria

RAPPORTO INCREMENTALE IN GEOMETRIA.
In geometria, il rapporto incrementale è utile per trovare il valore del coefficiente angolare di una retta secante.
Vediamo dunque come procedere?
Sappiamo che x1 è il punto di partenza e che L corrisponde ad una data distanza sull’asse delle ascisse.
Consideriamo l’ascissa x1 + L e le coordinate corrispondenti f (x1) ed f (x1 +L).
Partendo dal concetto di rapporto incrementale, possiamo dedurre che:
f (x1 +L) - f (x1) = Δy
x1 + L = Δx.
Come possiamo desumere dalla figura al lato, abbiamo appena trovato le lunghezze dei due cateti del triangolo raffigurato.

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