Come calcolare il rango determinante

tramite: O2O
Difficoltà: media
14

Introduzione

Il rango di una matrice è il massimo numero delle righe (o delle colonne) linearmente indipendenti, ovvero la dimensione del sottospazio generato dalle righe (o dalle colonne) della matrice stessa. Il rango è una nozione indispensabile in quanto ci rivela molte proprietà della matrice studiata e dell'applicazione lineare associata a quest'ultima. La nozione di determinante è strettamente legata a quella di rango infatti il rango di una matrice A equivale all'ordine della più grande matrice quadrata invertibile contenuta in A, dove invertibile vuol dire avente determinante diverso da zero. Vedremo prima i due metodi per calcolare il rango e infine come trovare il determinante.

24

Un primo metodo per calcolare il rango di una matrice A è chiamato algoritmo di Gauss il cui obbiettivo è ottenere una matrice a scalini (ovvero dove il primo elemento che non sia zero in una riga deve occupare una o più posizioni più a destra della riga precedente). Il rango in questo caso è il numero di righe non nulle che si osservano sulla matrice dopo aver applicato l'algoritmo. L'algoritmo si sviluppa in quattro passi:

1) Scegli una riga con primo elemento non nullo e scambiala con la prima, se tutte le righe hanno primo elemento nullo vai al passo 4.

2) Per ogni altra riga con primo elemento non nullo moltiplica la prima riga per un valore tale che sommate (le due righe) diano primo elemento uguale a zero.

3) Sostituisci la somma appena ottenuta con la matrice considerata al punto 2.

4) Ripeti dal punto 1 considerando la matrice ottenuta eliminando la prima riga e la prima colonna.

34

Il secondo metodo è chiamato metodo dei minori, ed è qui che entra in gioco il determinante. Partiamo con definire cosa è un minore: il minore di una matrice A è il determinante di una matrice quadrata contenuta in A. Il rango della matrice A è uguale al massimo ordine di un minore non nullo di A. Da queste definizioni si deduce che per applicare il metodo dei minori si dovrà calcolare il determinante di A se questo è nullo si dovrà calcolare tutti i minori di ordine maggiore, se sono tutti nulli si abbasserà di uno l'ordine dei minori e si ripeterà la ricerca. L'operazione termina non'appena si trova un minore non nullo: il rango cercato equivale all'ordine del minore trovato.

Continua la lettura
44

Vediamo ora come calcolare il determinante con il metodo di Laplace: Il determinante di una matrice A 2x2 [formata dalla riga (a, b) sovrapposta alla riga (c, d)] è det (A)=ad-cd. Per ogni altra matrice di ordine n più grande di 2 si opererà ricorsivamente nel modo seguente: si scelga una riga i, si faccia il prodotto tra l'elemento a di posizione (i, j) e il determinante della sottomatrice ottenuta eliminando la riga i e la colonna j per ogni elemento della riga scelta, infine si sommino i prodotti ottenuti tra loro facendo attenzione di cambiare il segno nel caso i+j sia dispari (il procedimento può essere applicato simmetricamente alle colonne). Ci sono altri metodi per il calcolo del determinante ma il metodo di Laplace ha il pregio di essere sempre applicabile.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come stabilire il rango di una matrice al variare di un parametro

La matematica è una delle materie che più crea problemi agli studenti. In realtà per comprendere appieno questa materia bisogna avere una buona base di teoria. È questo il caso del calcolo del rango di una matrice. Calcolare il rango di una matrice...
Superiori

Come stabilire il rango di una matrice

Tutti gli studenti si sono trovati a far i conti con l'algebra, durante la propria carriera scolastica. Tra gli argomenti più critici che possono mettere in imbarazzo ed anche in difficoltà seria gli studenti maggiormente preparati, ci sono le matrici....
Superiori

Come calcolare il volume di un ovale

Il calcolo del volume di un solido è un procedimento lungo e laborioso che viene compiuto mediante l'utilizzo di un integrale. Prima di lanciarci nella spiegazione di come calcolare il volume di un solido occorre precisare che non tutti gli enti geometrici...
Superiori

Come studiare un parametro in geometria analitica

Un esercizio che viene spesso assegnato dagli insegnanti di matematica riguarda un parametro della geometria analitica, che per essere approfondito necessita di uno studio appropriato affinché l'esito sia soddisfacente. Se avete dei dubbi in merito...
Superiori

Come calcolare volume e densità

A volte, quando si frequentano gli istituti superiori, i professori chiedono di calcolare il volume e la densità di un solido di forma regolare oppure irregolare. All'inizio il problema sembra di difficile soluzione, ma non bisogna demoralizzarsi. Basta...
Superiori

Come calcolare l'altezza relativa all'ipotenusa in triangolo rettangolo

In questo tutorial, potrete scoprire oggi, come calcolare l'altezza relativa all'ipotenusa in un triangolo rettangolo, meglio anche conosciuto come secondo teorema di Euclide. Il calcolo dell'altezza relativa all'ipotenusa in un triangolo rettangolo è...
Superiori

Come calcolare la funzione inversa di una parabola

In ambito matematico viene spesso richiesto di calcolare la funzione inversa di una parabola. Ciò che è in grado di mettere in difficoltà qualsiasi studente delle scuole superiori, è in realtà un'operazione semplicissima che può essere svolta agevolmente,...
Superiori

Come calcolare il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo

Questa guida potrà essere utile per scoprire come calcolare in modo semplice e veloce il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo. Nonostante possa sembrare un calcolo complesso e che richiede una base di studio e metodo, si tratta invece...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.