Come calcolare il punti medio di un segmento

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Un sistema di riferimento cartesiano che viene identificato da due assi si chiama piano cartesiano. Prima di giungere al calcolo del punto medio del segmento è necessario conoscerne i punti estremi. Tali dati, a seconda della difficoltà del problema che si sta svolgendo, possono essere il risultato di operazioni precedenti, come le intersezioni tra segmenti. Il punto medio di un segmento è il punto sul segmento equidistante dagli estremi; inoltre, esso lo divide in due segmenti di egual lunghezza. Le coordinate del punto medio sono le medie delle coordinate; nei passaggi seguenti è mostrato come calcolarle e che significato hanno.

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Come calcolare le coordinate

Nel caso in cui si avessero due punti A=(x1, y1) e B=(x2, y2), che sono i punti estremi del nostro segmento, per calcolare l'ascissa del punto medio non dobbiamo fare latro che sommare le ascisse dei nostri due punti, A e B, e dividere per due; otterremo quindi: Mx=(x1+x2)/2. A questo punto bisognerà effettuare un calcolo identico per quanto riguarda le ordinate; in questo caso otterremo: My=(y1+y2)/2.

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Un primo esempio

Abbiamo cosi trovato ascissa e ordinata del nostro punto medio. Per meglio visualizzare i valori da noi trovati il suggerimento è quello di proiettare le ordinate e le ascisse di tutti i punti sul loro asse. Noteremo così che le coordinate da noi calcolate cadono esattamente al centro dei valori degli estremi del nostro segmento. Per scongiurare ogni dubbio e vedere se abbiamo capito esattamente il concetto e il procedimento da eseguire, effettuiamo insieme un esercizio di calcolo del punto medio: sapendo che gli estremi sono A=(3, 14) e B=(5, 6) le coordinate del punto medio saranno: Mx=(3+5)/2=4; My=(14+6)/2=10; a questo punto sappiamo quindi che il nostro punto sarà M=(4,10).

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Un caso un po' più difficile

A volte c'è bisogno di trovare il punto medio tra due punti nello spazio. La differenza rispetto al punto precedente, è che ora abbiamo tre coordinate: ascissa, ordinata e quota (z). Per trovare il punto medio si procede come prima: troviamo l'ascissa e l'ordinata. Ora, non resta che trovare la coordinata z attraverso lo stesso metodo: sommiamo le quote degli estremi e dividiamo per due: Mz=(z1+z2)/2. Poiché una coordinata del punto medio non dipende dalle altre, la complessità non è aumentata. Ad esempio, se A=(3,14,7) e B=(5,6,11), allora Mx=(3+5)/2=4; My=(14+6)/2=10; Mz=(7+11)/2=9. Il punto medio avrà coordinate M=(4,10,9). Come si può vedere, l'aggiunta di una coordinata (quindi il passaggio da un piano ad uno spazio) non ha complicato di molto il procedimento.

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Un caso particolare

Mettiamo il caso di avere un segmento in cui una delle coordinate degli estremi coincide: allora basterà calcolare l'altra senza preoccuparsi della prima. Infatti, la media tra due numeri uguali è il numero stesso. Ad esempio, A=(1,4) e B=(1,6). M=(1,5) perché My=(4+6)/2=5. In pratica, è come se avessimo una dimensione in meno di cui preoccuparci. Nel punto precedente abbiamo visto come cambia il calcolo se abbiamo una dimensione in più, ma se ne abbiamo una in meno? Se invece di un piano cartesiano abbiamo una retta, ci basta una coordinata per identificare ogni punto. Allora, il punto medio sarà identificato semplicemente da quell'unica coordinata.

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Significato fisico

A cosa serve, però, trovare un punto medio? Dal punto di vista fisico, il punto medio è il baricentro del segmento, cioè il punto di equilibrio. Se l'oggetto rappresentato dal nostro segmento dovesse essere poggiato su un ago esattamente in corrispondenza del punto medio, esso rimarrebbe fermo. Si può fare un piccolo esperimento con degli stuzzicadenti (meglio non usare matite perché la loro composizione non è costante lungo tutta la lunghezza, quindi la densità in prossimità di un estremo varia parecchio rispetto all'altro; se si vuole fare un esperimento il più possibile preciso, meglio usare oggetti sottili, in modo che la larghezza non influenzi il risultato, e di materiale omogeneo). Se poggiate il punto medio dello stuzzicadenti su una superficie stretta, vedrete che rimarrà in equilibrio, mentre se spostate tale punto al di fuori della superficie, l'oggetto cadrà.

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Esercizi

Trovare il punto medio di un segmento non è difficile, ma per diventare bravi occorre fare tanti esercizi. A questo link ne trovate un po' di varia difficoltà: http://www.whymatematica.com/?p=4442Sono già provvisti di soluzione, così potrete controllare subito se avete capito o meno.

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