Come calcolare il prodotto scalare tra due vettori

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il prodotto scalare è un'operazione utilizzata soprattutto nel campo della fisica, e si ottiene andando a moltiplicare il valore del primo vettore per quello del secondo, per l'ampiezza dell'angolo compreso tra di essi. Certo, è molto più facile a farsi che a dirsi, ma in questa guida andrò a spiegarvi, in maniera molto semplice e concisa, come è possibile calcolare il prodotto scalare tra due vettori. Se leggerete attentamente quanto scritto, non avrete grossi difficoltà a capire ogni passaggio.

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Innanzitutto, bisogna andare a definire cosa sia esattamente un vettore. Una grandezza si può definire vettoriale quando possiede un modulo (ovvero il valore numerico che ne indica la lunghezza), una direzione (che è la linea retta che va da un punto all'altro) e un verso (che viene precisato dalla freccia) quali spostamento, velocità o accelerazione. Il vettore si contraddistingue dallo scalare che, invece, necessita soltanto di un modulo e non di tutti gli altri fattori elencati precedentemente (ne sono alcuni esempi la lunghezza o il tempo).

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Prendiamo ora in considerazione questo esempio: a X b = ab cos ---> Proviamo ora a fare i calcoli. Il prodotto scalare tra due vettori sarà uguale a (modulo del primo vettore X il modulo del secondo vettore) moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra di essi. In base ai gradi dell'angolo, ovviamente, il coseno avrà un valore differente. Nell'immagine qui accanto, potete facilmente andare a osservare e imparare tutti i valori dei coseni degli angoli più importanti. Questo vi agevolerà molto nell'effettuare i calcoli.

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I casi più rilevanti sono essenzialmente tre e riguardano l'angolo retto, quello acuto e quello ottuso. Se l'angolo compreso tra i due vettori è acuto (ossia compreso tra 0 e 90 gradi), il coseno avrà un valore positivo. In questo caso, il prodotto scalare tra due vettori sarà dato da una intensità positiva. Facciamo un esempio per capire meglio di cosa stiamo parlando, prendendo in considerazione il disegno a lato. V=4 e U=6 e l'angolo α è uguale a 45°. Il prodotto consisterà in 4 X 6 X cosα = 4 X 6 X √2/2 = 12√ 2.

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Qualora, invece. L'angolo compreso tra i due vettori fosse retto (ossia = 90), e quindi sono perpendicolari tra di loro, il coseno avrà un valore nullo. In questo caso, il prodotto scalare, come potete facilmente intuire, sarà uguale a zero. Facciamo un esempio per esserne più sicuri e per dimostrarlo, seguendo l'immagine allegata. A=3 e B=2 e α=90°. Il calcolo presuppone 3 X 2 X cosα = 3 X 2 X 0 = 0.

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Se l'angolo compreso tra i due vettori, invece, è ottuso (ossia compreso tra 90 e 180 gradi), il coseno sarà rappresentato da un valore negativo. In questo caso, il prodotto scalare tra i due vettori, darà una intensità che sarà anch'essa negativa. Vi propongo, ovviamente, un esempio che ve ne chiarirà i concetti. A=3 e B=2 e α=120°. Il prodotto finale sarà: 3 X 2 X (- 1/2) = 6 X (- 1/2) = - 3.

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Qualora aveste ulteriori dubbi su come effettuare i calcoli, o aveste necessità di ulteriori esempi che vi consentano di comprendere esattamente i passaggi, potete consultare dei libri di matematica contenenti esercizi già svolti. Un numero elevato di esempi vi chiarirà, sicuramente, ogni dubbio.

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