Come calcolare il prodotto notevole della somma per la differenza tra 2 monomi

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tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

In matematica, i prodotti notevoli vengono spesso utilizzati nel calcolo letterale e a molti studenti non vanno proprio giù. Con un prodotto notevole, si è in grado di semplificare i lunghi calcoli noiosi, effettuando di conseguenza meno errori di calcolo che ne potrebbero derivare. Frequentemente, gli studenti preferiscono imparare a memoria i prodotti notevoli più utilizzati, anche perché è possibile trovarli facilmente in tabella, ma vedrete che applicando una semplice dimostrazione, potrete ricordare facilmente almeno la somma per differenza. A tal proposito, in questa guida, vedremo come calcolare il prodotto notevole della somma per la differenza fra due monomi.

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Enunciato

Anzitutto, il primo passo è tenere bene a mente la regola principale, la quale afferma che il prodotto fra la somma di due monomi per la loro differenza, è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine, dove il primo termine è indicato generalmente con "a" e il secondo con "b", ovvero: (a+b)(a-b)=(a^2)-(b^2). Sviluppando la moltiplicazione in questione, si ottiene un risultato che vede, al suo interno, due termini opposti ("ab" con segno sia positivo che negativo) che, per logica, vanno eliminati perché si annullano a vicenda. Il risultato che vi rimarrà sarà quello che indicherà il risultato della moltiplicazione iniziale. Potrete, quindi, calcolarla saltando direttamente il passaggio intermedio.

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Calcolo

Successivamente, guardandola in forma letterale, avete essenzialmente questi passaggi: (a+b)(a-b)=(a^2)-ab+ab-(b^2); come potete vedere, i due termini "-ab" e "+ab" si annullano a vicenda ed ottengo il risultato finale di cui si è parlato prima. Per comprendere meglio ciò che si è enunciato finora, immaginate di dover risolvere l'operazione: "(5x+2y)(5x-2y)". Per la risoluzione diretta, elevate al quadrato il valore sia di "x" che di "y", naturalmente presi in positivo ed una sola volta. Separateli con il segno di sottrazione ed otterrete "(5x)^2-(2y)^2". Il risultato finale sarà, quindi, "25x^2-4y^2".

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Conclusioni

In questo modo, potrete risolvere tutte le operazioni su questo particolare prodotto notevole. Lo stesso discorso, infatti, si applica anche nel caso in cui le operazioni non riguardino numeri interi ma frazionari. Immaginate di dover risolvere "(2/3 x^2y+3/5 z^3)(2/3 x^2y-3/5 z^3)". Elevate al quadrato sia i membri "xy" che "z". In particolare, elevate al quadrato la parte numerica, mentre sommate tra loro gli esponenti delle diverse lettere. Otterrete così "4/9 x^4y^2 - 9/25 z^6".

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