Come calcolare il potenziale di una funzione

Per molti studenti universitari e delle scuole superiori la fisica è una delle materie più ostiche da studiare e comprendere. Indubbiamente gli argomenti di questa disciplina sono complessi, ma con un certo impegno e un po' di pazienza, i concetti possono essere assimilati e compresi bene. Una delle operazioni più difficili è il calcolo del potenziale di una funzione. Il calcolo del potenziale è un'operazione che ci permette di trovare la relazione tra il potenziale di una funzione e il potenziale di una forma esponenziale. La funzione di cui possiamo calcolare il potenziale è quella rappresentata da un campo vettoriale conservativo. Un campo si dice conservativo quando è il gradiente di una funzione. Vediamo allora come procedere per calcolare il potenziale di una funzione.

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Prima di procedere al calcolo del potenziale, bisogna stabilire se il campo vettoriale è conservativo. Data quindi una funzione, dobbiamo svolgere delle operazioni per capire se si tratta di un campo conservativo. Immaginiamo di trovarci di fronte ad una funzione di questo tipo:
V(x,y) = (3x^2 + 2y^2 + 2y) + (4xy + 2x + 1)
Andiamo quindi a calcolare le componenti che costituiscono due funzioni, che chiameremo M e N; una è appartenente all'asse i e l'altra appartenente all'asse j.
M=3x^2 + 2y^2 + 2y
N= 4xy + 2 + 1
Dato che entrambe sono polinomiali, possono essere inserite nell'insieme R^2, dunque sono connesse. Dopo aver determinato tale connessione, bisogna calcolare le derivate parziali sia di M che di N.
La derivata parziale di M è M = 4y + 2. Se calcoliamo quella di N, scopriremo che corrispondono. Quindi, in questo caso, il campo si definisce conservativo.

A questo punto, per risalire al potenziale, indicato con U(x,y), bisogna calcolare gli integrali. La derivata parziale di U rispetto a x deve corrispondere ad M, mentre la derivata parziale di U rispetto a Y deve corrispondere a N. Consideriamo ora U(x,y) come una funzione della sola x, cioè pensando di aver fissato y, ed integriamo rispetto a x. La costante c di integrazione dipenderà da y.
Consideriamo quindi la prima uguaglianza, Ux=M. Ciò che dobbiamo fare è integrarla membro a membro con la x. In questo modo otterremo:
Ux=3x^2 + 2y^2 + 2y
Calcolando gli integrali, otterremo: Uxdx = (3x^2 + 2y^2 + 2y) dx = x^3 + 2y^2x + 2yx + c(y)
Dobbiamo ora verificare la seconda condizione, cioè Ux=Y. Usiamo lo stesso procedimento di prima, per ottenere: Uy = 4yx + 2x + c(y) = 4xy + 2x + 1 = 4yx + 2c + c(y)
Sommando i termini simili, avremo infine: 1 = c(y)
Integrando entrambi i membri a dy, avremo che: y = c(y).

Adesso siamo pronti per calcolare il potenziale della funzione. Dato che y = c(y), possiamo sostituire la c(y) alla precedente funzione che avevamo calcolato. La funzione era questa:
Uxdx = (3x^2 + 2y^2 + 2y) dx = x^3 + 2y^2x + 2yx + c(y). Ricordiamo inoltre che due potenziali differiscono per una costante, indicata con K. Quindi possiamo scrivere anche c(y) = K1
Sostituiamo quindi la c(y) con la y, per ottenere: x^3 + 2y^2x + 2yx + yScriviamo quindi così il nostro potenziale: U(x,y) = x^3 + 2y^2x + 2yx + yL'esercizio terminerà in questo modo. Se avete seguito correttamente la guida, sarete ora in grado di calcolare il potenziale di una funzione!

• Campo conservativo e potenziale