Come calcolare il potenziale di una funzione

Tramite: O2O
Difficoltà: difficile
17

Introduzione

Per molti studenti universitari e delle scuole superiori la fisica è una delle materie più ostiche da studiare e comprendere. Indubbiamente gli argomenti di questa disciplina sono complessi, ma con un certo impegno e un po' di pazienza, i concetti possono essere assimilati e compresi bene. Una delle operazioni più difficili è il calcolo del potenziale di una funzione. Il calcolo del potenziale è un'operazione che ci permette di trovare la relazione tra il potenziale di una funzione e il potenziale di una forma esponenziale. La funzione di cui possiamo calcolare il potenziale è quella rappresentata da un campo vettoriale conservativo. Un campo si dice conservativo quando è il gradiente di una funzione. Vediamo allora come procedere per calcolare il potenziale di una funzione.

27

Occorrente

  • Libro di fisica
  • Foglio e penna
  • Calcolatrice
37

Stabilire se un campo è conservativo

Prima di procedere al calcolo del potenziale, bisogna stabilire se il campo vettoriale è conservativo. Data quindi una funzione, dobbiamo svolgere delle operazioni per capire se si tratta di un campo conservativo. Immaginiamo di trovarci di fronte ad una funzione di questo tipo:
V(x,y) = (3x^2 + 2y^2 + 2y) + (4xy + 2x + 1)
Andiamo quindi a calcolare le componenti che costituiscono due funzioni, che chiameremo M e N; una è appartenente all'asse i e l'altra appartenente all'asse j.
M=3x^2 + 2y^2 + 2y
N= 4xy + 2 + 1
Dato che entrambe sono polinomiali, possono essere inserite nell'insieme R^2, dunque sono connesse. Dopo aver determinato tale connessione, bisogna calcolare le derivate parziali sia di M che di N.
La derivata parziale di M è M = 4y + 2. Se calcoliamo quella di N, scopriremo che corrispondono. Quindi, in questo caso, il campo si definisce conservativo.

47

Calcolare gli integrali

A questo punto, per risalire al potenziale, indicato con U(x,y), bisogna calcolare gli integrali. La derivata parziale di U rispetto a x deve corrispondere ad M, mentre la derivata parziale di U rispetto a Y deve corrispondere a N. Consideriamo ora U(x,y) come una funzione della sola x, cioè pensando di aver fissato y, ed integriamo rispetto a x. La costante c di integrazione dipenderà da y.
Consideriamo quindi la prima uguaglianza, Ux=M. Ciò che dobbiamo fare è integrarla membro a membro con la x. In questo modo otterremo:
Ux=3x^2 + 2y^2 + 2y
Calcolando gli integrali, otterremo: Uxdx = (3x^2 + 2y^2 + 2y) dx = x^3 + 2y^2x + 2yx + c(y)
Dobbiamo ora verificare la seconda condizione, cioè Ux=Y. Usiamo lo stesso procedimento di prima, per ottenere: Uy = 4yx + 2x + c(y) = 4xy + 2x + 1 = 4yx + 2c + c(y)
Sommando i termini simili, avremo infine: 1 = c(y)
Integrando entrambi i membri a dy, avremo che: y = c(y).

Continua la lettura
57

Calcolare il potenziale

Adesso siamo pronti per calcolare il potenziale della funzione. Dato che y = c(y), possiamo sostituire la c(y) alla precedente funzione che avevamo calcolato. La funzione era questa:
Uxdx = (3x^2 + 2y^2 + 2y) dx = x^3 + 2y^2x + 2yx + c(y). Ricordiamo inoltre che due potenziali differiscono per una costante, indicata con K. Quindi possiamo scrivere anche c(y) = K1
Sostituiamo quindi la c(y) con la y, per ottenere: x^3 + 2y^2x + 2yx + yScriviamo quindi così il nostro potenziale: U(x,y) = x^3 + 2y^2x + 2yx + yL'esercizio terminerà in questo modo. Se avete seguito correttamente la guida, sarete ora in grado di calcolare il potenziale di una funzione!

67

Guarda il video

77

Consigli

Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Segnala il video che ritieni inappropriato
Devi selezionare il video che desideri segnalare
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come Calcolare L'Energia Potenziale Di Un Corpo

Con il termine di energia potenziale di un oggetto, si intende l'energia che questo stesso oggetto possiede a causa della sua posizione a discapito di un campo di forze a lui riferite. Nel caso si tratti di un sistema, l'energia potenziale può dipendere...
Superiori

Come calcolare l'energia potenziale elastica

Quando si parla di elasticità, il nostro primo pensiero, aldilà delle inferenze strettamente legate all'ambito fisico, va a quei corpi tradizionalmente ritenuti elastici, come le molle lineare o le molle slinky ad anelli. Tuttavia, è da ricordare come...
Superiori

Come calcolare il potenziale elettrostatico

La fisica è una materia complessa ed articolata e viene convenzionalmente suddivisa in vari argomenti per rendere più semplice la sua comprensione, soprattutto per gli studenti. Avere a disposizione le informazioni suddivise per campi infatti permette...
Superiori

Come calcolare la funzione inversa di una parabola

In ambito matematico viene spesso richiesto di calcolare la funzione inversa di una parabola. Ciò che è in grado di mettere in difficoltà qualsiasi studente delle scuole superiori, è in realtà un'operazione semplicissima che può essere svolta agevolmente,...
Superiori

Come calcolare il valore medio di una funzione

La prima applicazione degli integrali a cui daremo uno sguardo è il valore medio di una funzione. Il fatto seguente ci dice come calcolare questo. Quindi come calcolare il valore medio di una funzione. Il valore medio di una funzione sull'intervallo...
Superiori

Come calcolare il dominio di una funzione esponenziale

In analisi matematica si incontrano spesso delle difficoltà dovute al fatto che molti argomenti sembrano inizialmente ostici ma, una volta compresi a pieno, la strada sarà sicuramente più agevole. In particolare uno dei primi esercizi a cui si va incontro...
Superiori

Come calcolare il grado di una funzione

Le funzioni algebriche razionali possono essere di due tipi: intere o fratte. Si dice che la funzione algebrica è fratta se f: R| x --> N(x)/D(x). Il dominio coincide con l'asse reale R, esclusi i punti per i quali il denominatore si annulla. Le caratteristiche...
Superiori

Come calcolare il dominio di una funzione a tratti

In questa bella guida, che abbiamo pensato di proporvi, vogliamo cercare di capire ed insegnare a tutti voi, cari lettori, come poter calcolare, nel migliore dei modi ed in maniera semplice e veloce, il dominio di una funzione a tratti. Le funzioni sono...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.