Come calcolare il polinomio minimo di una matrice

Il polinomio minimo di una matrice viene utilizzato in algebra lineare e serve per determinare la diagonalizzabilità e la forma canonica di Jordan della trasformazione o matrice.
La definizione può in un primo momento far presagire che questo sia un ostico calcolo matematico, di difficile comprensione. In realtà, esso viene studiato da tantissimi studenti, che da anni lottano contro un ostacolo che per molti risulta essere insormontabile: la cara, vecchia e buona matematica!
Come calcolarlo? Come rilassarci? Come capirlo meglio?

Potremo, dunque, elencare numerosi teoremi e formule matematiche per spiegare questo concetto, ma quasi sicuramente finirebbero per confonderci ancora di più; proveremo, quindi, a spiegare ed analizzare i fondamentali: le propietà del polinomio minimo è un divisore di qualasiasi altro polinomio annullante per la matrice A. Esso ha le stesse radici del polinomio caratteristico, infatti ogni radice del polinomio minimo ha grado di molteplicità minore o uguale a quello che la radice stessa ha nel polinomio caratteristico. Inutile nascondere, che non parliamo di argomenti semplici e sicuramente calcolare il polinomio minimo di una matrice non è come imparare le tabelline, o moltiplicare due fattori.

Passando al calcolo del polinomio minimo esso può essere determinato facendo il rapporto tra il polinomio caratteristico della matrice e il massimo comun divisore della matrice stessa. Inoltre, per verificare la correttezza del polinimio minimo si deve provare che il polinomio deve neccessariamente annullare la matrice, e per fare ciò si sostituisce la matrice della forma fattorizzata del polinomio minimo.
È importante notare che per me le matrici diagonalizzabili i fattori del polinomio minimo sono tutti al primo grado, mentre per le matrici non diagonalizzabili è presente almeno un fattore con esponente maggiore o uguale a 2.

Forse non a tutti il concetto sarà immediatamente chiaro, ma una cosa è certa: la matematica non è, e probabilmente non sarà mai un'opinione e per questo dovrà essere capita affondo. Un consiglio potrebbe essere quello di studiare, senza pretendere di riuscirci subito, fare una pausa e bere magari una buona e fumante tazza di cioccolato caldo; guardare una puntata della nostra serie TV preferita (senza esagerare) o fare quello che più ci piace. Chissà, magari un po' di dolce renderà piacevole anche lo studio della materia che è forse la più temuta dagli studenti: la matematica. In basso, potete visionare tra una pausa e l'altra due video interessanti, che vi aiuteranno non solo a concentrarvi, ma anche a rilassarvi.

• Come trovare le radici di un polinomio con il teorema degli zeri razionali