Come calcolare il numero di diagonali in un poligono

Uno dei tanti dilemmi che la geometria ci propone è quello relativo al calcolo del numero delle diagonali di un poligono. Se, nel caso di un poligono regolare l'operazione può sembrare abbastanza intuitiva, le cose si complicano notevolmente quando il poligono ha un numero elevato di lati o vertici. La domanda che ci poniamo infatti è se esiste una formula matematica che può indicarci come calcolare il numero di diagonali in un poligono, qualunque sia il numero di lati. Nella guida che segue risponderemo al quesito in pochi semplici passi.

• Nozioni di base di geometria

Va ricordato che un poligono è definito come l'area di piano delimitata da una linea spezzata chiusa caratterizzato da un certo numero di lati che coincide con il numero di vertici. In ogni poligono due lati che condividono lo stesso vertice vengono definiti adiacenti e considerare che per diagonale si intende quel segmento che congiunge i vertici non consecutivi. Una volta ripassate queste nozioni elementari sarà più agevole determinare il numero di diagonali di un poligono.

La formula per il calcolo è la seguente: [n*(n-3)] / 2, dove n sta ad indicare il numero di vertici o lati del poligono. Per comprendere l'utilizzo di tale formula possiamo iniziare determinando il numero di diagonali di un quadrato; il discorso sarà lo stesso per i poligoni più complessi. Poiché il numero dei vertici di un quadrato è pari a 4 sostituendo tale valore alla lettera n nella formula matematica appena enunciata, si avrà: [4*(4-3)] / 2 = 4*1/2 = 4/2 = 2. Infatti, come ben noto, il quadrato ha due diagonali.

La formula si spiega semplicemente: ciascun vertice, ad eccezione di se stesso e dei due vertici consecutivi, si raccorda con tutti i vertici del poligono determinando le diagonali. Da ciò si evince che bisogna sottrarre dal numero dei lati, o dei vertici del poligono, proprio i lati consecutivi di un qualsiasi vertice preso in analisi ed il vertice stesso: (n - 3). Nel caso specifico del quadrato avremo quindi 4-3 = 1. Tale discorso è valido nel caso del singolo vertice perciò, moltiplicando tale valore per il numero di vertici totali, si otterrà il numero di tutte le possibili diagonali.

Moltiplicando n*(n-3), che nel caso del quadrato risulta essere pari a 4*(4-3) = 4, si ottiene la totalità delle possibili diagonali. Cosi facendo, però, ogni diagonale verrebbe contata due volte ed è per questo motivo che è necessario dividere per 2 il valore ottenuto. Nel nostro caso, 4/2 = 2. Ecco spiegata l'origine di questa formula che si rivela particolarmente utile nel caso di poligoni con un numero elevato di lati e vertici. Supponiamo, ad esempio, di voler determinare il numero di diagonali di un poligono con 56 vertici. Non vi resterà che procedere applicando la formula: [56*(56-3)] / 2 = 56*53/2 = 1484. Otterrete quindi un poligono con 1484 diagonali.

• Per una migliore comprensione degli argomenti matematici, si consiglia sempre di ripassare le nozioni di base.

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