Come calcolare il massimo e il minimo di una funzione

Tramite: O2O 05/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica si possono trovare tra le varie operazioni da compiere, le cosiddette funzioni. Una funzione f(x) è in sostanza una relazione che si crea tra due valori generici x ed y. X è detto dominio della funzione mentre y è detto codominio della funzione. Il massimo e il minimo di una funzione sono, invece, i valori estremi della funzione, cioè punti in cui la funzione assume un valore massimo o minimo in tutto il suo dominio. Massimi e minimi possono essere sia relativi che assoluti e non è detto che esistano sempre in una funzione. Il punto di massimo assoluto è definito come quel valore della funzione per cui vale che tutti gli altri valori della funzione sono minori, mentre il punto di minimo assoluto è definito come quel valore della funzione per cui tutti gli altri valori che la funzione assume sono maggiori. Una funzione f(x) ha, invece, un valore di massimo relativo in x = a, se f(a) è maggiore di qualsiasi valore immediatamente precedente o seguente (quindi all'interno di un intervallo del dominio). In questo caso prende il nome di massimo "relativo" perché altri valori della funzione possono essere maggiori in intervalli più estesi del dominio. Diciamo che una funzione f(x) ha un valore di minimo relativo in x = b, se f(b) è inferiore a qualsiasi valore immediatamente precedente o seguente. Anche in questo caso parleremo di minimo "relativo" perché possono esistere altri minimi in intervalli maggiormente estesi del dominio.
Vediamo insieme come calcolare il massimo e il minimo di una funzione, chiamati anche punti estremanti della funzione.

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Individuazione dei punti estremanti all'interno della funzione

Come già accennato, una funzione non è altro che una legge che lega ad ogni elemento appartenente ad un insieme x, che viene detto anche immagine della funzione, uno e un solo elemento di un insieme y, che viene detto controimmagine.
Per conoscere il valore esatto dei punti in corrispondenza dei quali si ha un punto di massimo o di minimo, si deve calcolare la derivata prima della funzione e, successivamente, imporla uguale a zero (f'(x) = 0). Una volta fatta questa impostazione a zero, si può facilmente ricavare il valore corrispondente della x, che dunque rappresenterà il punto massimo, o minimo, descritto dal grafico della funzione. Il calcolo da fare è una semplice equazione che metta in relazione il valore di x con f, ovvero la derivata.Una volta ricavato il valore della x basta sostituirlo all'interno della funzione originaria per ricavare anche il valore del codominio corrispondente.

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Comprensione con un esempio numerico

Facciamo un esempio.
Data l'equazione f(x) = x^2 - 3, la derivata prima sarà: f'(x) = 2x. Ricaviamo allora la x uguagliando a zero la derivata trovata. Avremo: f'(x) = 2x = 0. Possiamo ricavare la x in maniera molto semplice, ottenendo: x = 0. Andiamo a sostituirlo nella funzione originaria: f(0) = 0^2 - 3 = -3. Il punto estremante avrà coordinate: M (0, -3).

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Definizione del punto di massimo o minimo

Una volta individuato il punto estremante, dobbiamo capire se si tratta di un massimo o di un minimo. Questa operazione viene svolta considerando la derivata seconda della funzione originaria, nel punto estremante. In questo caso, possiamo avere tre possibili casi:
f''(x)>0 in questa situazione il punto è un minimo e la concavità è verso l'alto;
f''(x)f''(x)=0, non è nè un massimo nè un minimo.
Riprendendo l'esempio precedente avremo: f''(x) = 2, per cui f''(0) = 2. Vediamo che la derivata seconda è maggiore di zero, per cui M(0, -3) è un punto di minimo.

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Individuazione dei punti di massimo e di minimo negli estremi

Ultimo aspetto da non sottovalutare, per quelle funzioni che hanno un dominio limitato, consiste nei valori degli estremi che possono essere anch'essi punti di massimo o minimo.
Per calcolarli basta sostituire i valori degli estremi x nella funzione. I valori ottenuti andranno confrontati direttamente con i valori dei massimi o minimi adiacenti. Nel caso dell'estremo sinistro avremo un minimo se esso è seguito da un massimo, viceversa avremo un massimo se l'estremo è seguito da un minimo. Lo stesso ragionamento si effettua per l'altro estremo.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ricordarsi di svolgere sempre sia la derivata prima che la derivata seconda della funzione
  • Dopo aver trovato il valore della x ricordarsi di trovare anche il valore corrispondente della y
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