Come calcolare il massimo e il minimo di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica si possono trovare tra le varie operazioni da compiere, le cosiddette funzioni. Una funzione è in sostanza una relazione che si crea tra due valori generici, x, detto dominio, ed y, detto codominio. Il massimo e minimo di una funzione invece sono i valori estremi che x può assumere all'interno di un dominio, sia in senso positivo che in senso negativo. Una funzione f (x) ha un valore massimo relativo in x = a, se f (a) è maggiore di qualsiasi valore immediatamente precedente o follwing. Noi lo chiamiamo un massimo "relativa" perché gli altri valori della funzione possono in effetti essere maggiori. Diciamo che una funzione f (x) ha un valore minimo relativo in x = b, se f (b) è inferiore a qualsiasi valore immediatamente precedente o follwing, gli altri valori della funzione possono in effetti essere di meno. Il valore della funzione, il valore di y o il massimo o il minimo vengono chiamati "valore estremo".
Ecco come calcolare il massimo e il minimo di una funzione.

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Una funzione non è altro che una legge che lega ad ogni elemento appartenente ad un insieme x, che viene detto dominio, un solo elemento di un insieme y, che viene detto codominio. Il punto di massimo è definito come quel valore della funzione per cui vale che tutti gli altri valori della funzione sono minori, mentre il punto di minimo è definito come quel valore della funzione per cui tutti gli altri valori che la funzione assume sono più alti.

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Per conoscere il valore esatto dei punti in corrispondenza del quale si ha un punto di massimo o di minimo, si deve calcolare la derivata prima della funzione e fare in modo che essa risulti uguale a zero. Conoscendo che la derivata è zero, si può facilmente ricavare il valore corrispondente della x, che dunque rappresenterà il punto massimo, o minimo, descritto dal grafico della funzione. Il calcolo da fare è una semplice equazione di primo grado, che metta in relazione il valore di x con f, ovvero la derivata.

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Un altro modo per determinare i punti estremanti è considerando la derivata seconda: in questo caso, la funzione assume tre possibili variabili: f''(x)>0 è il punto di minimo se la concavità è verso l'alto; f''(x)<0 è il punto massimo se la concavità è verso il basso; f''(x)=0, non si riesce a definire nè il massimo nè il minimo.

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I valori critici invece, determinano svolte in cui la tangente è parallela all'asse x. I valori critici avranno soluzione: f '(x) = 0. Ad esempio: sia f (x) = x2 - 6x + 5; soluzione: f '(x) = 2x - 6 = 0 implica x = 3. X = 3 è l'unico valore critico e l'ascissa è nel punto di svolta. Per determinare la coordinata Y, bisogna valutare f: f (x) = x2 - 6x + 5.

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