Come calcolare il logaritmo negativo

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Molto spesso, studiando una materia complessa come la matematica, ci sarà sicuramente capitato di non riuscire a comprendere un particolare argomento trattato da questa disciplina. In generale, in questi casi cerchiamo di consultare altri libri di testo provando a comprendere quel particolare argomento, oppure chiediamo l'aiuto di qualcuno esperto in matematica. In realtà utilizzando un computer connesso ad internet, potremo cercare la soluzione al nostro problema consultando le moltissime guide presenti sul web, che ci aiuteranno a comprendere l'argomento da noi desiderato in maniera molto semplice. Nei passi successivi, in particolare, vedremo come fare per riuscire a calcolare il logaritmo di un numero negativo.

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Occorrente

  • Seguire i consigli riportati nella guida.
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Definizione di logaritmo

Soffermiamoci un attimo sul concetto che c'è dietro il logaritmo, cosa intendiamo quando scriviamo log_b (a)=c? Questa scrittura sta ad indicare che c è il numero da utilizzare come esponente per b, affinché si abbia a come risultato. Detto in modo più rigoroso, si ha che b^c=a. In questo senso il logaritmo può essere visto come la funzione inversa dell'esponenziale ed è definito per tutti i numeri reali.

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Soluzione di un logaritmo negativo

Supponiamo di voler calcolare il ln (-1). Nel campo dei complessi otteniamo una soluzione reale + una parte immaginaria: ln (-1) = a + ib. Secondo la definizione di logaritmo otteniamo -1 = e^(a+ib) = e^a * e^(ib). Secondo le proprietà dei complessi e^ib possiamo scriverlo anche nel seguente modo: e^ib = cos(b) + isen (b), quindi sostituendolo alla formula precedente: -1 = e^a (cos (b) + isen (b)).
Svolgendo la moltiplicazione: -1 = e^a * cos (b) + ie^a * sen (b), e ponendo b = k pigreco (con k appartenente ai numeri interi) abbiamo: -1 = e^a * cos (k pigreco) (perché sen (k pigreco) = 0). Quando k è un numero pari, cos (k pigreco) = 1; quando invece è dispari vale -1. Da questo capiamo che nel nostro caso k deve essere dispari. Avremo quindi -1 = e^a (-1) (quindi a=0). Da questo otteniamo: in (-1) = ik pigreco, con k intero dispari.

Continua la lettura
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Conclusioni

Da quanto detto finora, possiamo ricavarci il valore di qualsiasi logaritmo negativo. Basterà pensare al logaritmo di un qualsiasi numero negativo come il logaritmo del prodotto del modulo di questo numero e -1. Per esempio: in (-7) = ln (-1 * 7) Per le proprietà dei logaritmi, otteniamo: ln (-1) + ln (7) = ln (7) + ik pigreco, con k intero dispari. Analogamente, si può estendere il discorso a un logaritmo in qualsiasi base, sostituendo nei passi precedenti la "e" con la base del logaritmo in questione. Svolgendo alcuni esercizi, riusciremo a prendere molta dimestichezza con questo argomento e la soluzione dei logaritmi negativi non sarà più un problema.

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