Come calcolare il limite di una successione convergente

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Difficoltà: media
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Introduzione

Nella matematica avanzate non è raro imbattersi nelle serie o successioni numeriche. In analisi è una stringa infinita di termini, ossia di numeri. Non si tratta di insiemi numerabili. Pertanto è fondamentale seguire l'ordine prestabilito dei termini. Le successioni numeriche trovano la loro più ampia applicazione nel calcolo infinitesimale. In particolare esse rappresentano la base della funzione in campo reale. Esse., infatti, permettono di lavorare in N anziché in R.. Tuttavia la successione di una funzione può essere costruita solo per quelle funzioni che esistono in N.. Se ciò non è possibile non si può definire alcuna successione. Tra le operazioni che si possono compiere con le successioni, particolare importanza riveste la funzione del calcolo del limite, in particolare delle successioni convergenti. Si definiscono successioni convergenti, tutte quelle successioni che ammettono come limite di n che tende a infinito un valore finito, ossia un numero. Ma concretamente, com'è possibile calcolare il limite di una successione convergente? Questa domanda è sicuramente molto popolare tra gli studenti di ingegneria e matematica. Ma non temete. Con un po del vostro tempo proveremo a rispondere a questa domanda. Vediamo assieme come calcolare il limite di una successione convergente.

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Occorrente

  • conoscenze di analisi matematica
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Serie a termini negativi

Per calcolare il limite di una successione convergente, è necessario innanzitutto verificare il tipo della serie in questione. A seconda della tipologia di serie, il calcolo del limite sarà diverso. Partiamo dalla serie a termini non negativi. Una successione si dice a termini negativi se per ogni n appartenente ad N, i termini della successione sono tutti positivi. In questo caso, per calcolare il limite della successione, basterà ricorrere al teorema generale sulla convergenza monotòna. Se una funziona monotòna è limitata superiormente allora essa è convergente, e quindi ammette limite. Per calcolarlo basterà sostituire i valori di n e fare il confronto tra gli infiniti.

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Serie a termini alterni

Oltre altre successioni a termini non negativi vi sono altri due tipi di serie. Una di queste è la successione a termini alterni. Viene definita successione a termini alterni, una successione che assume alternativamente valori di segno diverso. In particolare i valori dispari fanno assumere alla funzione un valore negativo. Quelli pari le fanno assumere un valore positivo. Per calcolare il limite di questa successione si ricorre al teorema di Leibnitz. Se la funzione con è infinitesima, e contemporaneamente la successione non è crescente, la serie è convergente.

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Serie di segno qualunque

Oltre alle serie a segno alterni e a termini non negativi, esistono anche le successione di segno qualunque. Per questo tipo di successione non si fa alcun ragionamento circa il segno dei termini. Per queste serie vi è un unico criterio risolutivo. Esso è il criterio di convergenza generale. Per calcolare il limite di una successione convergente a segno qualunque, è l'unica strada percorribile. Pertanto occorre applicare il criterio di assoluta convergenza. Se infatti, una seria è assolutamente convergente, allora essa converge. Tuttavia essa costituisce una condizione necessaria ma non sufficiente.

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