Come calcolare il limite di una funzione composta

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Uno dei problemi più affrontati in analisi matematica è quello del calcolo dei limiti. Definita una funzione ci si chiede come poterla rappresentare su di un piano cartesiano e per farlo sono necessari alcuni strumenti matematici quali: le derivate, il dominio di funzione, i limiti, i punti di massimo e minimo più altri accorgimenti che rendono sempre più precisa la rappresentazione. Il calcolo del limite permette di definire quali sono i valori che una funzione non deve raggiungere, in caso contrario essa stessa non esisterebbe. Poiché una funzione in analisi, è generalmente una composizione di più funzioni, vedremo come calcolare il limite di una funzione composta.

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Occorrente

  • carta e penna
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Teorema sulle funzioni composte

Date due funzioni h (definita in un insieme A appartenente ai Reali) e g (definita in un insieme B appartenente ai Reali) e supposto che il dominio di h sia contenuto in B ed x0 sia un punto di accumulazione di A, allora il limite per x che tende ad x0 di h (x) vale yo. Ma se y0 appartiene all'intervallo che va da -inf a +inf, nei quali è contenuto anche l'insieme dei numeri Reali, significa che h (x) è diverso da y0. Facendo invece il limite per y che tende a yo di g (y) otteniamo un certo numero l appartenente all'intervallo -inf e +inf. Mettendo insieme le due funzioni g ed h allora ottengo che per il teorema ponte il limite per x che tende ad x0 di g (h (x))=l.

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Spiegazione

Utilizzando il teorema ponte che collega i limiti di successioni ai limiti di funzioni è più facile rappresentare il teorema delle funzioni composte, usando esempi numerici. In pratica il valore ottenuto dal limite fatto per la funzione h ci fa ottenere un'ascissa Xn. L'ascissa Xn è però anche l'ordinata della funzione g, che viene composta con la funzione h. Questo significa che poiché la funzione g (y) da per ipotesi un certo numero l, ma abbiamo scoperto che y altri non è che h (Xn) allora riscrivendoli sotto forma di composizione otteniamo come unico risultato il valore l.

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Esempio

Svolgiamo il limite per x->0 di arcsinx/(x) che sarà la nostra f (x). Applichiamo ora un cambio di variabile in modo da poter ottenere la seconda funzione. Per trovare la funzione interna consideriamo y=arcsinx come y=g (x). Invertendo le variabili otteniamo come risultato x=siny. Ora siny rappresenta la funzione k^(-1)(y) ossia la sottofunzione contenuta in f (x). Riscrivendo quindi la funzione di partenza come composizione di funzioni otteniamo che f*k^(-1)(y)=y/(siny) e facendone il limite per y->0 considerato il nuovo cambio di variabile, non ci resta che calcolare il risultato e scoprire che equivale ad 1.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Il calcolo delle funzioni composte richiede la conoscenza dei limiti delle funzioni di base e molti esercizi
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