Come calcolare il limite di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Con la seguente guida vi illustrerò come calcolare i limiti di funzioni usando limiti notevoli e teorema di De Hopital. Se vale che: f (x) e g (x) sono derivabili in un intorno di x0 (escluso il punto x0); g'(x) ≠0 nell'intorno in x0; limite di x tendente a x0 del rapporto delle funzioni derivate f'(x) e g'(x) esiste (finito o infinito); allora vale il limite del rapporto delle funzione f (x) diviso g (x) è uguale al rapporto delle due funzioni derivate f'(x) e g'(x).

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Per calcolare il limite della f (x) con x che va a 0, dove 0 può essere un numero oppure ±∞. Si sostituisce il valore 0 in f (x), se restituisce un numero quello è il valore del limite. Se ci sono dei calcoli che “non si possono fare” si ha una indeterminazione, cioè una delle seguenti: (0/0), (∞/∞), (0 * ∞), (∞ - ∞), (0 ^ 0), (∞^ 0), (1^∞).

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Se x tende a ∞ ci sono alcuni calcoli che si possono fare con gli infiniti, nelle figure di questo passo e del precedente c’è una tabella che mostra questi calcoli.
Un sistema per risolvere le forme indeterminate è usare i limiti notevoli dei quali riporto degli esempi:
funz. Seno: (sen (x)/x)=1 se x tende a zero; funz. Esponenziale: (e^x - 1)/x =1 se x tende a zero

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Le forme indeterminate (0/0) e (∞/∞) si possono sciogliere usando de Hopital. Quest'ultimo permette di dire che il limite di f (x)/g (x) è uguale al limite di f’(x)/g’(x), cioè il rapporto delle due funzioni derivate. Derivare le funzioni spesso semplifica molto il limite e lo rende facilmente calcolabile. A volte è necessario applicare il teorema due o N volte per ottenere il risultato, cioè se anche nella frazione delle due derivate si trova una indecisione si può riapplicare nuovamente il teorema e derivare ancora.

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La (0 * ∞), si riconduce alla (0/0) o (∞/∞) partendo da una funzione del tipo f (x) g (x), in questo modo: f (x) g (x) = f (x)/(1/g (x)). Si mette dunque una delle due funzioni al denominatore, ma mettendola come frazione, cioè eseguendo il reciproco. Si può mettere al denominatore sia f (x) che g (x), quindi è bene scegliere quella che ottenuta come frazione ha la derivata più semplice.

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Per le forme indeterminate (0 ^ 0) oppure (∞^ 0) oppure (1^∞) si scrive la f (x)^g (x) (dove il simbolo ^ indica l'elevazione a potenza) in questo modo: f (x)^g (x) = e^[g (x) log (f (x))]. Scrivendo la funzione in questo modo il limite si semplifica o si riduce all’ esponente ad una forma canonica.

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Per terminare, la (∞ - ∞): partendo da una funzione del tipo f (x)-g (x) la si può scrivere come:
f (x)-g (x) = f (x) [1-f (x)/g (x)]. Che può risolvere con sistemi già visti. Ecco come abbiamo calcolato il nostro limite!

Ecco un link che potrebbe fornire ulteriori informazioni utili per capire al meglio come calcolare i limiti di una funzione --》http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/limiti-continuita-e-asintoti/100-algebra-dei-limiti-quali-calcoli-si-possono-fare.html (Regole per il calcolo dei limiti).

Ecco un link da leggere a titolo informativo --》http://m.my-personaltrainer.it/matematica/limiti-esercizi-risolti.html (Limiti: Esercizi svolti).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per capire bene i limiti delle funzioni risulta necessario fare un bel po' di esercizi.

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