Come calcolare il gradiente di una funzione in un punto

"Perché devo studiare le funzioni?". Chi non ha mai pensato una cosa del genere? Bambini, adolescenti e adulti, la matematica è una disciplina con cui tutti prima o poi devono fare i conti! Sebbene, da ragazzi, ci sembri del tutto inutile studiare la matematica, vi assicuro che questa scienza, in realtà, è molto presente nella vita di tutti i giorni. Ma cos'è la matematica? Molto semplicemente possiamo definirla come la scienza che studia le quantità, ossia i numeri, lo spazio, le strutture ed i calcoli. L'universo matematico contiene tantissime formule, concetti e dimostrazioni. Tra questi troviamo le funzioni. Una volta definito il concetto di funzione, questa guida illustrerà il procedimento di calcolo del gradiente di una funzione in un punto. Vediamo dunque insieme in che modo possiamo calcolare il gradiente di una funzione e ottenere il risultato che cerchiamo.

• Quaderno, penna
• Manuale di matematica
• Calcolatrice scientifica

Prima ancora di poter definire la funzione, occorre introdurre due elementi importanti: dominio e codominio. Domino e codominio sono i due insiemi su cui è definita la funzione.
Quindi, dati tre oggetti: dominio "X", codominio "Y" e una legge x--> f (x); definiamo funzione la relazione che associa ad ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

Data una funzione f (x, y) definita su un insieme aperto A e sia il punto B (x0, y0) appartenente all'insieme A. Se esistono nel punto B sia la derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y, allora è possibile costruire un vettore che abbia per componenti le derivate parziali:

Gradiente f (x0, y0) = (fx (x0, y0), fy (x0, y0)).

Nella fase di calcolo è necessaria la massima attenzione e concentrazione. Infatti, è probabile commettere errori nel calcolo delle derivate parziali quando ci troviamo davanti a funzioni molto complesse.
Procediamo per gradi:

1) Calcoliamo la derivata parziale rispetto ad X;
2) Calcoliamo la derivata parziale rispetto ad Y.

Ora, unendo le due derivate, otterremo il gradiente della funzione. Nel nostro caso, però, si vuole trovare il gradiente di un punto specifico B (x0, y0), per cui:

3) sostituiamo i valori della derivata parziale rispetto ad x con i valori x0 ed y0 del punto B;
4) sostituiamo i valori della derivata parziale rispetto ad y con i valori x0 ed y0 del punto B.

Ricapitolando,
Ai punti 1 e 2 abbiamo calcolato il gradiente della funzione, nei successivi abbiamo calcolato il gradiente della funzione in un punto specifico.

Abbiamo utilizzato una funzione a due variabili, ma è possibile studiare il gradiente di funzioni con più variabili.

• Prestare molta attenzione nello svolgimento di tutti i passaggi

• Esercizi svolti

• Come calcolare il gradiente di una funzione a due variabili
• Come trovare gli estremi liberi in una funzione