Come calcolare il gradiente di una funzione in n variabili

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

L'esame di matematica si avvicina e ancora arrancate? La matematica universitaria non è più come quella delle superiori? Niente paura perché, in realtà, è tutto il contrario.
Oggi infatti ci leveremo un sassolino dalla scarpa, con questa guido impareremo a calcolare il gradiente di una funzione in n variabili. Vedremo che, alla fine dei conti, si tratta di argomenti che già sappiamo, con solo qualche piccola variante. Vediamo subito come fare.

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Per prima cosa, riprendiamo i concetti di cui avremo bisogno: le funzioni in più variabili e le derivate parziali. Anche se siete già familiari con questi argomenti, vi consiglio di leggere questo passo, un ripasso breve e efficace non fa mai male.

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Eccoci quindi al succo del nostro discorso. Cos'è quindi il gradiente di una funzione F in n variabili? Non è altro che un vettore con n componenti, e le sue componenti sono proprio le derivate parziali di F rispetto alle n variabili.
In formule, scriviamo: Grad (F) = (dF/dx1, dF/dx2, ..., df/dxn)
Se vogliamo calcolare il gradiente di una funzione in un punto, otterremo ancora un vettore, le cui componenti saranno, ancora, le derivate parziali della funzione calcolate in quel punto.

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Le funzioni in più variabili, diciamo "n variabili", sono applicazioni da R^n in R, dunque, a n valori, ne assegnano uno unico. Se indichiamo con x1, x2, ..., xn, le nostre variabili, allora la nostra funzione sarà della forma F (x1, x2,..., xn).
Facciamo un esempio per n=3, e scegliamo F (x, y, z) = x^2*y + log(y) + xyz. Se vogliamo calcolarla nel punto (2,1,4) otteniamo F (2,1,4) = 2^2*1 + log (1) + 2*1*4 = 4+0+8 = 12.
Passiamo ora alle derivate parziali. Vi ricordate come si fanno le derivate "normali"? Ebbene, cambia poco e niente! La derivata parziale rispetto a x, che indicheremo come dF/dx, è la derivata della funzione rispetto a x, fatta pensando le altre variabili come costanti. In che senso? Nel senso che nel fare questa operazione le trattiamo come numeri, ovvero, se la derivata di x^2 è 2x, sappiamo bene che la derivata di 5*x^2 è allora 5*2x; ugualmente, la derivata di y*x^2 sarà y*2x.
Non è poi tanto difficile no? Vediamo un esempio.
Facciamo ora le derivate parziali rispetto alla funzione F. È utile ricordarsi che la derivata di una somma è la somma delle derivate.
La derivata parziale rispetto a x: dF/dx = 2x*y + 0 + yz = y*(2x + z) (la derivata rispetto a x di log (y) è 0 perché la x non compare proprio nel termine);
La derivata parziale rispetto a y: dF/dy = x^2 + 1/y + xz = x (x + z) + 1/y;
La derivata parziale rispetto a z: dF/dz = 0 + 0 + xy = xy.

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Riprendiamo ancora la nostra funzione F e facciamone il gradiente. Avevamo: F (x, y, z) = x^2*y + log (y) + xyz e le sue derivate parziali: dF/dx = y*(2x + z), dF/dy = x (x + z) + 1/y, dF/dz = xy.
E allora Grad (F) = (y*(2x + z), x (x + z) + 1/y, xy).
Calcoliamo infine il gradiente di F nel punto (2,1,4), basterà sostituire i valori alle rispettive variabili, e dunque: Grad (F)(2,1,4) = (1*(2*2+4), 2*(2+4) + 1/1, 2*1) = (8, 13, 2).
Ecco qua, niente di difficile dopo tutto!

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