Come calcolare il gradiente di una funzione a due variabili

La branca del calcolo differenziale è quella che maggiormente preoccupa gli studenti ma non è in realtà molto difficile una volta carpiti i meccanismi. Il calcolo con le derivate è piuttosto semplice perché quasi completamente meccanico, ma può presentare alcune asperità se non si ha molta dimestichezza con le formule. Purtroppo per gli studenti alle prime armi, la conoscenza delle formule di derivazione è indispensabile per proseguire gli studi scientifici e ingegneristici, e soprattutto apre al vero calcolo complicato, che è quello integrale. L'impiego di queste funzioni è necessario in molti settori dell'ingegneria, della matematica in generale e della chimica, quindi è bene capire subito come ci si deve rapportare con il calcolo del gradiente di una funzione. In fisica soprattutto capiterà spessissimo di dover calcolare il gradiente di una funzione. Con questa guida vi indicherò i passaggi necessari e i requisiti per la determinazione del gradiente di una funzione a due variabili, ed ovviamente vi lascerò anche informazioni su come estendere il calcolo alle funzioni con n variabili.

• blocco o quaderno
• penna
• Tabella delle formule di derivazione

Il gradiente di "f" è una funzione vettoriale ricavata a partire da una scalare ed ha come componenti le due derivate parziali della funzione, ossia la derivata secondo "x" e quella secondo "y". Solitamente il gradiente si trova scritto nella forma compatta "?f" o come grad (f). L'operatore "?" è detto "Nabla" ed è un termine ricorrente in tutto il calcolo integrale e derivativo. L'operatore ? si applica sia seguendo le regole del prodotto vettoriale che di quello scalare, ed è un artificio matematico importante. Fu introdotto in matematica dal fisico Rowan Hamilton e deve il suo nome alla somiglianza con il nebel, uno strumento musicale. In uno spazio unidimensionale, il Nabla coincide con la semplice derivata, e deve la sua popolarità perché permette di scrivere, con una notazione compatta, gli operatori differenziali della jacobiana, del gradiente, della divergenza e del rotore, indispensabili per maneggiare la matematica più avanzata e molte funzioni fisiche come il flusso. Prima di affrontare questi problemi, però vediamo come si calcola il gradiente di una funzione in due variabili.

Se i problema che ci arriva è della forma "calcolare il gradiente di una funzione in due variabili f (x, y)" l'operatore Nabla si applica in maniera elementare, semplicemente moltiplicandolo per tutti i termini in cui può essere ridotta la funzione. Si consiglia vivamente di ridurre la funzione alla forma più semplice da derivare per non ritrovarsi a fare calcoli molto lunghi. Per capire come fare dovete avere sotto mano una tabella delle formule di derivazione, che vi può guidare nella scelta delle scomposizioni più comode per voi. Per esempio se la funzione fosse del tipo f (x, y)=axy+bx+cy, per restare sul semplice, l'operatore si applicherebbe come ?axy+?bx+?cy=?f (x, y). A questo punto si deve chiarire come il Nabla trasformi la funzione. La forma completa del Nabla in due variabili è:

(?/?x) i+(?/?y) j

dove rispettivamente per convenzione si indica con i il versore dell'asse x e con j quello dell'asse y. Per versore si intende sostanzialmente la "direzione" dell'asse, cioè un vettore unitario che ci dice semplicemente di che variabile stiamo trattando. Il versore si calcola dividendo un vettore per il proprio modulo, ossia "normalizzandolo ad 1". In pratica l'operatore Nabla è dato dalla somma delle derivate parziali della funzione, moltiplicate per i rispettivi versori, e trasforma una funzione scalare in una vettoriale.

Per riuscire a capire come si applica l'operatore Nabla per fare il calcolo di un gradiente propongo un esempio elementare, in modo tale da non generare confusione con calcoli lunghi e tediosi. Sia f (x, y) una funzione del tipo:

f (x, y)=(x^2+y^2)

applicando l'operatore Nabla per il calcolo del gradiente si ottiene:

?f (x, y)=2xi+2yj

in sostanza abbiamo fatto la derivata delle funzione nella variabile x, moltiplicandola poi per il versore i, successivamente la derivata della funzione nella variabile y, moltiplicandola per il versore j. Se la funzione fosse stata in n variabili, il processo sarebbe stato esattamente lo stesso, tranne che invece di fermarsi al calcolo di 2 derivate avremmo proseguito con i relativi versori. Per la cronaca, in geometria solida, i versori dei tre assi cartesiani sono rispettivamente i, j e k, e così si trovano riportati nella stragrande maggioranza dei testi. Esiste anche un'altra notazione, che è quella con un accento circonflesso rivolto verso il basso, o cappuccio, ma che per difficoltà di scrittura sui programmi viene spesso trascurata. Per le scuole superiori, dove gran parte del calcolo viene fatto su carta, si consiglia l'uso della notazione con il cappuccetto, per non confondere troppo gli studenti.

• Ricordate che l'operatore Nabla, se moltiplicato vettorialmente da una funzione differente che si chiama rotore, quindi prestate attenzione alle proprietà di distribuzione del prodotto.

• Il gradiente
• Operatore Nabla

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