Come calcolare il flusso termico

La termodinamica studia il calore e lo scambio energetico ad esso connesso. Il calore è una forma di energia connessa al livello di agitazione delle molecole di un corpo o di un sistema fisico. Se due corpi hanno rispettivamente temperatura T1 e T2 con T1flusso termico che è la relazione che regola questi scambi.

• Carta e penna

Supponendo la stazionarietà del fenomeno di scambio termico, si può scrivere la relazione

q'=λ*grad (T)

dove q' indica la densità di flusso termico, ovvero la potenza termica per unità di superficie, e l'operatore "grad" è il gradiente (Nabla) espresso come la somma delle derivate parziali di T, ognuna moltiplicata per il versore relativo.

grad (T)=[∂T/∂x]i+[∂T/∂y]j+[∂T/∂z]k

infine

"λ" è detto "conducibilità termica" ed è una grandezza scalare con un comportamento analogo alla conducibilità elettrica.
Il suo comportamento infine è a sua volta correlato con la temperatura secondo la relazione lineare

λ=λ0(1+bT)

dove tutte le temperature sono espresse in gradi centigradi.

Supponendo di studiare una lamina infinita di spessore L sottile avremo relativamente all'area di scambio un volume

dV=A*dx

a cui corrisponde una massa

dM=ρ*A*dx

siano poi le temperature della faccia di entrata e di quella di uscita del flusso dopo un tempo congruo t

T (x)=T (x, t0)

e

T (x+dx)=T (x+dx, t0+dt)

che si esprime in forma differenziale come

T (x, t+dt)=T (t (x, t)+(∂T/∂t)*dt

considerando il bilancio energetico e l'assenza di lavoro da parte del sistema
otteniamo
∆U=Q (x)-Q (x+dx)

che si può poi esprimere in funzione del flusso termico come
∆U=A (q'(x)-q'(x+dx))*dt
sostituendo poi in funzione della massa e del calore


dM*c*dT=A (q'(x)-q'(x+dx))*dt

con opportune sostituzioni e calcoli si approda poi alla così detta Equazione di Fourier

(∂T/∂t)=(λ/ρc)*[(∂∂T/∂x^2)+(∂∂T/∂x^2)+(∂∂T/∂x^2)]

dove per sistemi stazionari il termine fra parentesi quadre si assume nullo.

Applicando le equazioni al caso di flusso monodimensionale attraverso il classico cilindretto di area A ci troviamo di fronte ad una espressione lineare della temperatura nella forma

T (x)=Ex+F

in questa espressione, applicando le ipotesi di stazionarietà e i dati sulle temperature delle due facce ricaviamo le condizioni sul profilo lineare di temperatura.
ricaviamo quindi la densità di flusso attraverso la lamina di spessore L

q'=-λ*∂T/∂x=(λ/L)(T1-T2).

• Bisogna avere conoscenze di calcolo differenziale

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