Come calcolare il dominio di una funzione logaritmica

In matematica, il dominio di una funzione non è altro che quell'insieme di numeri che possono essere inseriti nella funzione stessa. In altre parole, si tratta dell'insieme delle X che è possibile inserire in una determinata equazione. Il dominio dunque, è l'insieme di input o X -valori per i quali è definita la funzione, mentre l' intervallo è l'insieme di tutti gli output o y -valori che la funzione assume. Una semplice funzione esponenziale come f(x)=2x ha come dominio tutta la linea reale. Ma la sua portata riguarda solo numeri reali positivi: y>0:f(x). Inoltre, non raggiunge mai realmente 0 , anche se si avvicina asintoticamente come X va a -?. Nel determinare il dominio è più conveniente determinare dove la funzione non esisterebbe. Ad esempio, possiamo solo prendere il logaritmo di valori maggiore di 0. Tuttavia, il suo intervallo è tale che y ? R. Ricorda che le funzioni logaritmiche e le funzioni esponenziali sono funzioni inverse, così come previsto, il dominio di un esponenziale è tale che x ? R, ma l'intervallo sarà maggiore di 0. A tal proposito, nei passi di questa guida, vedremo insieme come calcolare il dominio di una funzione logaritmica.

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Per una funzione f definita da un'espressione con variabile x, il dominio implicito di f è l'insieme di tutti i numeri reali che la variabile x può assumere in modo tale che l'espressione che definisce la funzione sia reale. Il dominio può anche essere fornito esplicitamente. Anzitutto, il calcolo del dominio viene effettuato nello studio di una funzione ed ha il compito di determinare dove questa può essere situata all'interno del sistema cartesiano. Per esempio, se abbiamo un logaritmo in base "e" (detto anche logaritmo naturale) che ha come argomento solo la X, potremmo notare come la funzione stia soltanto nel primo e nel quarto quadrante, perché dovendo essere l'argomento del logaritmo maggiore di zero, la X non può assumere valori nulli o negativi. Questo è ovviamente il caso più semplice, successivamente vedremo la risoluzione di alcuni esempi per avere un quadro più chiaro.

Consideriamo la funzione [ log (x+1) ], tenendo conto del fatto che, quando non si scrive nulla, viene sottinteso che è in base 2. In questo caso vediamo che, a differenza del caso precedente, la funzione attraversa l'asse delle ordinate. Per poter arrivare a capirne il motivo, è sufficiente andare a calcolare il dominio ponendo [ x+1>0 ], da cui si ottiene [ x>-1 ]. La funzione, come possiamo vedere, viene quindi traslata di 1 sull'asse x. Prendiamo ora in considerazione una funzione leggermente più difficile ed esaminiamo attentamente quello che è il dominio di [log (x/(x+2))]. Come al solito, dobbiamo porre l'argomento positivo, in questo caso [ x/(x+2)>0]. In seguito, non ci resta altro da fare che risolvere la disequazione. Tuttavia, considerando che si tratta di una frazione, dobbiamo necessariamente porre [ x+2=/=0 ].

Adesso, ponendo numeratore e denominatore maggiore di zero, avremo [ x>0 ] e [x>-2], da cui, tramite il grafico dei segni, si ottiene come dominio [ x0 ]. Con questi esempi, dovrebbe essere piuttosto chiaro il modo con cui bisogna procedere per effettuare il calcolo del dominio di un logaritmo. A questo punto, è sufficiente porre maggiore di zero tutto l'argomento, il quale dovrà poi essere risolto a parte, come è stato fatto nel passo 2, in cui avevamo una funzione di funzione. Per concludere, potrebbe anche verificarsi di avere un logaritmo come argomento, ottenendo qualcosa del tipo [ log (2*log (x+1)) ]: in questo caso, sarà quindi necessario risolvere non solo [ 2*log (x+1)>0 ], ma anche [ x+1>0 ].

• Le funzioni logaritmiche e le funzioni esponenziali sono funzioni inverse, così come previsto, il dominio di un esponenziale è tale che x ∈ R, ma l'intervallo sarà maggiore di 0.

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