Come calcolare il dominio di una funzione logaritmica

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica, il dominio di una funzione non è altro che quell'insieme di numeri che possono essere inseriti nella funzione stessa. In altre parole, si tratta dell'insieme delle X che è possibile inserire in una determinata equazione. A tal proposito, nei passi di questa guida, vedremo insieme come calcolare il dominio di una funzione logaritmica.

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Occorrente

  • Conoscenze base di matematica
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Effettuare lo studio di una funzione

Anzitutto, il calcolo del dominio viene effettuato nello studio di una funzione ed ha il compito di determinare dove questa può essere situata all'interno del sistema cartesiano. Per esempio, se abbiamo un logaritmo in base "e" (detto anche logaritmo naturale) che ha come argomento solo la X, potremmo notare come la funzione stia soltanto nel primo e nel quarto quadrante, perché dovendo essere l'argomento del logaritmo maggiore di zero, la X non può assumere valori nulli o negativi. Questo è ovviamente il caso più semplice, successivamente vedremo la risoluzione di alcuni esempi per avere un quadro più chiaro.

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Risolvere la disequazione

Consideriamo la funzione [ log (x+1) ], tenendo conto del fatto che, quando non si scrive nulla, viene sottinteso che è in base 2. In questo caso vediamo che, a differenza del caso precedente, la funzione attraversa l'asse delle ordinate. Per poter arrivare a capirne il motivo, è sufficiente andare a calcolare il dominio ponendo [ x+1>0 ], da cui si ottiene [ x>-1 ]. La funzione, come possiamo vedere, viene quindi traslata di 1 sull'asse x. Prendiamo ora in considerazione una funzione leggermente più difficile ed esaminiamo attentamente quello che è il dominio di [log (x/(x+2))]. Come al solito, dobbiamo porre l'argomento positivo, in questo caso [ x/(x+2)>0]. In seguito, non ci resta altro da fare che risolvere la disequazione. Tuttavia, considerando che si tratta di una frazione, dobbiamo necessariamente porre [ x+2=/=0 ].

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Porre maggiore di zero tutto l'argomento

Adesso, ponendo numeratore e denominatore maggiore di zero, avremo [ x>0 ] e [x>-2], da cui, tramite il grafico dei segni, si ottiene come dominio [ x<-2 e x>0 ]. Con questi esempi, dovrebbe essere piuttosto chiaro il modo con cui bisogna procedere per effettuare il calcolo del dominio di un logaritmo. A questo punto, è sufficiente porre maggiore di zero tutto l'argomento, il quale dovrà poi essere risolto a parte, come è stato fatto nel passo 2, in cui avevamo una funzione di funzione. Per concludere, potrebbe anche verificarsi di avere un logaritmo come argomento, ottenendo qualcosa del tipo [ log (2*log (x+1)) ]: in questo caso, sarà quindi necessario risolvere non solo [ 2*log (x+1)>0 ], ma anche [ x+1>0 ]. Buon lavoro!

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