Come calcolare il dominio di una funzione esponenziale

In analisi matematica si incontrano spesso delle difficoltà dovute al fatto che molti argomenti sembrano inizialmente ostici ma, una volta compresi a pieno, la strada sarà sicuramente più agevole. In particolare uno dei primi esercizi a cui si va incontro è il calcolo del dominio di una funzione. Il dominio di una funzione f (x) è definito come quell'insieme di valori di x per cui la funzione esiste ed assume valori definiti. Una particolare funzione è la quella esponenziale, ricorrente negli esercizi di analisi matematica, il cui dominio non è difficile da calcolare se si segue l'opportuna procedura. Le applicazioni di questa funzione sono innumerevoli e coprono la maggior parte delle applicazioni ingegneristiche e scientifiche della matematica. Vediamo insieme in questa guida come si deve procedere per calcolare il dominio di una funzione esponenziale.

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Le funzioni esponenziali sono particolarmente diffuse ed utili, e si deve imparare rapidamente a gestirle. In analisi matematica la "funzione esponenziale" non restituisce mai un risultato nullo se la base non è 0, è sempre positiva, se la base è positiva ed ha una forma del tipo f (x) = a^x da leggersi: "a" elevato alla "x", dove "a" che è detta "base" deve essere maggiore di "0" e differente da "1" per non restituire risultati banali. Se la base fosse unitaria si avrebbe il caso limite di una funzione costante, mentre se fosse nulla l'esponenziale sarebbe sempre nullo. L'esponente "x" può assumere qualsiasi valore, sia positivo che negativo. Calcolare il dominio "D" appartenente all'insieme dei numeri reali: "R" di una determinata funzione esponenziale significa trovare quei valori dell'esponente "x" che non la rendono inesistente oppure indefinita. Questo è il caso più semplice da analizzare, perché il dominio risulta essere tutto il campo dei reali. Ciò significa che sostituendo all'incognita x un qualsiasi numero reale, la funzione esponenziale restituirà un risultato di senso compiuto.

Quando dobbiamo risolvere una funzione esponenziale con base costante, ovvero del tipo "y = a^[f (x)], con a costante reale positiva, per prima cosa dobbiamo andare a studiare la f(x) per determinarne il dominio. Spesso la base è il così detto numero di Nepero, "e", molto diffuso in fisica e in applicazioni reali. Passando allo studio del dominio, questa operazione prevede di trovare tutti gli intervalli in cui la f(x) non assume valori infiniti, indeterminati o non è definita. Una volta scartati tutti i valori che rendono la f(x) priva di significato o che la rendono infinita, possiamo proseguire col calcolo del dominio. Il risultato sarà un dominio che coincide con quello della f(x). Se a fosse reale negativa non ci sarebbero problemi, perché la presenza del segno "-" non altera il dominio ed il diagramma di funzione risulterebbe semplicemente ribaltato rispetto all'asse x.

Quando, invece, ci danno da risolvere una "funzione esponenziale con base variabile". Ovvero del tipo "y = f (x)^[g (x)]", per prima cosa dobbiamo analizzare separatamente la g(x) e la f(x). Si scartano tutti i valori che rendono al f(x) priva di senso e poi si passa alla g(x). Anche per questa se ne calcola il dominio, verificando dove essa è priva di senso o dove assume valori infiniti. Il dominio si determina andando a verificare come si comporta la funzione della base nel dominio della funzione esponente. Si dovranno trovare tutti i punti in cui si hanno comportamenti indeterminati come 0^0, o dove la base o l'esponente assumono valori infiniti che non possono essere trattatati con mezzi semplici e che spesso restituiscono risultati assolutamente indeterminati.

• Ricordate di commentare i singoli passaggi per evitare confusioni

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