Come calcolare il dominio di una funzione con valore assoluto

In matematica viene definita funzione, un legame fra due variabili, una indipendente (x) e l'altra dipendente (y). Questo legame fa sì che ad ogni valore della x corrisponda un solo valore della y tale per cui si possa scrivere sempre:
y = f (x)
Una categoria di funzione piuttosto particolare è quella delle funzioni con valore assoluto. Per la loro natura e immagine possono creare qualche problema dal punto di vista concettuale, ma spiegheremo, attraverso questa guida, come rendere il calcolo del dominio di questo tipo molto semplice e intuitivo. Calcolare questo tipo di dominio non richiede conoscenze specifiche, solo un po di pazienza.

Tra le diverse proprietà peculiari di una funzione vi sono due insiemi: il dominio e il codominio. Il primo rappresenta l'insieme dei valori di x su cui è definita la funzione y, il secondo è l'insieme dei valori che può assumere la funzione stessa. Il calcolo del dominio di una funzione è un'operazione che può presentare una difficoltà variabile, a seconda del tipo di funzione in esame. In altre parole: il dominio (ciò che dobbiamo calcolare) di una funzione è la parte di numeri reali in cui è definita la funzione stessa, ovvero "dove" esiste tale funzione.

Il modulo o valore assoluto, di un numero reale A è costituito da una funzione che associa un numero reale positivo ad ogni numero reale A. Nel caso A fosse negativo, il suo modulo sarebbe -A, ovvero un numero positivo. Allo stesso modo se A fosse positivo il valore assoluto risulterebbe A stesso. Il simbolo utilizzato per definire il modulo di A è il seguente: | A |. La funzione f (x) = |x| associa ad ogni valore di x il suo modulo. Visto che risulta possibile calcolare il modulo di ogni numero reale il dominio di tale funzione sarà rappresentato quindi da tutto l'insieme dei numeri reali:
dom f = R.

Ecco un semplice esempio. Supponiamo di avere la seguente funzione f (x) = |x^3 / (x+5)|. In questo caso il dominio è rappresentato da tutti i valori di x escluso quello per cui il denominatore è pari a zero (Per definizione una frazione non può avere denominatore nullo). Per calcolarlo basta porre:
x+5 = 0 da cui x = -5. Il dominio sarà:
D = (-inf, -5) U (-5,+inf)
L'unico valore per cui la funzione non sarà definita è -5, dove la frazione non ha senso.

Risolviamo ora un caso più difficile. Supponiamo di voler trovare il dominio della seguente funzione: y = 1 / (|x+3| - |x|).
La prima cosa da fare è eguagliare a zero la quantità presente all'interno dei moduli. Otteniamo così x >= -3 e x >= 0. Mettendo su grafico entrambi i moduli nel piano cartesiano notiamo tre zone caratteristiche. Nella prima, per x minore o uguale a -3, sia il primo che il secondo modulo cambiano segno. La funzione diventa y = 1 / (-x-3+x), cioè y = -1/3. Nella seconda, per x compreso tra 0 e -3 il primo modulo rimane invariato mentre il secondo cambia segno: y = 1 / (x+3+x), cioè y = 1 / (2x+3). Nella terza, per x > 0 i moduli rimangono entrambi invariati: y = 1 / (x+3-x), cioè y = +1/3. Considerando, quindi, i tre possibili casi, la funzione non è definita solo se il denominatore 2x+3 si annulla, cioè se 2x+3 = 0, da cui x = -3/2. Il dominio sarà, dunque, l'intero insieme R eccetto il punto x = -3/2:
D = (-inf, -3/2) U (-3/2, +inf).

L'importante, quindi, è ricordare che in un procedimento del genere è necessario compiere lo stesso lavoro che viene svolto per funzioni più semplici, facendo però attenzione a "sdoppiare la funzione", tenendo conto del fatto che all'interno del valore assoluto potrebbe esserci sia un valore negativo che uno positivo. Con queste semplici spiegazioni, avrete le idee più chiare sull'argomento, anche se è sempre indicato approfondire lo studio delle funzioni in maniera dettagliata per averne un quadro completo.

• Svolgere più esercizi possibili, così da rendere il concetto più chiaro.

• Esercizi svolti