Come calcolare il dominio di una funzione a tratti

Tramite: O2O 29/11/2021
Difficoltà: media
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Introduzione

L'analisi matematica è una materia molto affascinante che può apparire ostica solo se non ci si sforza di capire i meccanismi elementari che ne sono alla base. In questa bella guida, che abbiamo pensato di proporvi, vogliamo cercare di capire ed insegnare a tutti voi, cari lettori, come poter calcolare, nel migliore dei modi ed in maniera semplice e veloce, il dominio di una funzione a tratti. Per fare ciò faremo dei brevi cenni sui concetti di funzione, funzione a tratti e dominio. Sintetizzando i concetti generali esposti arriveremo alla conclusione.

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Occorrente

  • Quaderno
  • Penna o matita
  • Penne o matite colorate (opzionale)
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Cos'è una funzione

Una funzione è un legame matematico che correla fra loro due o più variabili. Solitamente, quando si tratta di due variabili, si usa la notazione y=f(x) che vuol dire che y è funzione di x, cioè che il valore di y cambia in funzione del valore di x. Per questo motivo, x viene detta variabile indipendente mentre y viene detta variabile dipendente (perché il suo valore "dipende" da quello di x). Ad esempio nella formula y=2x abbiamo che il valore di y è pari al doppio di quello di x, per cui se x=2 sarà y=4 e così via.
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Funzione di più variabili

Abbiamo detto che in generale una funzione potrebbe non essere limitata a sole due variabili. Ci potrebbe essere una sola variabile dipendente e più variabili indipendenti. Chiamiamo sempre con y la variabile indipendente e con x1, x2, x3, ..., xn le variabili indipendenti.
In tal caso useremo la seguente notazione:
y=f(x1, x2, x3, ...,xn).

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Cos'è una funzione a tratti

Una funzione a tratti è un legame tra le variabili y e x nel quale la formula matematica che correla le due variabili cambia a seconda del valore di x.Ad esempio potrei dire che y=f(x) specificando che
per xper x?1: y=x^2 (x al quadrato)
quindi quando x ha valori inferiori a 1 userò la prima formula, quando x ha valori maggiori di 1 la seconda.
esempio, per x=1/2, y=1/2; per x=2, y=4
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Funzione a tratti di più variabili

Analogamente a quanto visto, potremmo avere una funzione a tratti di più variabili.
Si tratta di funzioni molto complesse che vengono affrontate solo a livello universitario da chi studia matematica, con l'ausilio di calcolatori elettronici. Comunque il concetto generale è facile da capire, avremo che la funzione f varia non solo a seconda del valore di una sola variabile indipendente ma a seconda della combinazione della varie variabili indipendenti.

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Cos'è il dominio di una funzione

Il dominio di una funzione è l'insieme dei valori che la variabile indipendente (cioè x) può assumere affinché la funzione possa avere soluzioni (reali). Ad esempio, se avessi la funzione y= radice quadrata di x, poiché la radice quadrata, per avere soluzioni reali dovrebbe avere per forza un argomento maggiore o uguale a zero (è impossibile fare la radice quadrata di un numero negativo) posso dedurre che il dominio della funzione è x maggiore o uguale a zero.
Altro esempio, se avessi y=1/x potrei dire che la funzione non esiste (non ha soluzioni reali) per x=0 e quindi il dominio sarebbero tutti i numeri reali tranne 0.

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Codominio di una funzione

Aggiungiamo che, invece, viene chiamato "codominio" (n.b. Non "coNdominio"!) l'insieme dei valori che può assumere la variabile dipendente y.
Ad esempio, nella funzione y=x^2 (y = x al quadrato) abbiamo che x può assumere qualsiasi valore ma il risultato sarà sempre maggiore di zero. Quindi il dominio sarà qualsiasi valore di x ma il codominio sarà y maggiore o uguale a zero.

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Definizione insiemistica di funzione

Adesso che abbiamo definito i concetti di dominio e di codominio possiamo anche dare una nuova e diversa definizione di funzione, una definizione insiemistica:
una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio. Tale relazione associa in maniera univoca ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio (non è sempre vedo il contrario, ciò ad un elemento del codominio potrebbero corrispondere anche due o più elementi del dominio).

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Dominio di una funzione a tratti

A questo punto, sulla base di quanto spiegato nei paragrafi precedenti, è molto semplice capire come si possa determinare il dominio di una funzione a tratti. Per ogni intervallo di x in cui la funzione è definita tramite una formula diversa, andrò a verificare se in quello stesso intervallo vi siano dei valori (o degli intervalli di valori) di x da escludere dal dominio. Ricordiamoci sempre che i valori da escludere devono ricadere nell'intervallo stesso che stiamo esaminando, altrimenti non dovremo escluderli (vedere l'ultimo esempio).

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Alcuni esempi

Ad esempio, se avessi la seguente funzione discontinua:
per xper x?2: y = 1/(x-4)
Andrò ad analizzare il dominio nei due intervalli per le due funzioni diverse:
per xper x?2 vedo che devo escludere il valore x=4 per il quale il denominatore è pari a 0.
In conclusione il dominio della funzione a tratti sarà x maggiore o uguale a zero e diverso da 4.

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Secondo esempio

Funzione a tratti:
per xper x?0: y=1/(x-2)
Andiamo a cercare il dominio:
nell'intervallo xQuindi il dominio della funzione a tratti sarà costituito da tutti i numeri reali tranne ±2.

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Altro esempio

Funzione a tratti:
per xper x?0: y=1/(x+1)
vediamo il dominio:
per x0 dovrei escludere x=-1 perché il denominatore sarebbe pari a zero, ma in realtà x=-1 non rientra nell'intervallo x>0 (infatti per x=-1 vale l'altra formula, y=x) e quindi il dominio della funzione a tratti sarà uguale a tutti i numeri reali.


.

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Guarda il video

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Disegnate su un foglio di carta l'asse dei numeri reali e suddividetelo nei vari tratti nei quali è definita la funzione. Con un colore diverso eliminate i tratti in cui la funzione non è definita.
  • Per il calcolo di funzioni a tratti di più variabili esistono appositi software
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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