Come calcolare il dominio di una funzione a due variabili

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Difficoltà: media
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Introduzione

Una funzione a due variabili è una legge, definita f, che ad ogni coppia di numeri x e y, i quali costituiscono le variabili indipendenti, associa ad entrambi un numero z, vale a dire la variabile dipendente. Chiunque frequenti una facoltà scientifica come ingegneria o matematica, o semplicemente il liceo scientifico, si imbatte in quest’argomento inizialmente complesso ma che può essere facilitato attraverso spiegazioni dettagliate e molta, molta pratica. Questa guida vuole spiegare come calcolare il dominio di funzioni a due variabili, vediamo quindi il procedimento.

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Il dominio di una funzione è un insieme, solitamente un sottoinsieme di R (insieme dei numeri reali), in cui ha senso valutare la funzione. Per riuscire a trovare il dominio di funzioni a due variabili, bisogna per prima cosa individuare le condizioni che consentono l’esistenza di f, le quali dipenderanno dalle funzioni elementari che definiscono sempre f; in secondo luogo dovremo mettere a sistema le suddette condizioni per determinare il dominio.

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Ipotizziamo di aver individuato tre condizioni: iniziamo col rappresentare l’insieme di soluzioni della prima condizione, e quindi disegniamo semplicemente la frontiera di quest’ultima (in questo modo, limitandoci cioè a disegnare la frontiera, il disegno apparirà meglio strutturato); procediamo allo stesso modo con la seconda, e infine con la terza. (vedi figura a sinistra) Questa logica è valida indifferentemente dal numero di condizioni. Una volta ottenuta la rappresentazione grafica dei tre insieme, basterà prendere l’intersezione degli stessi: questo sarà il nostro dominio rappresentato analiticamente, cioè bisogna scrivere le soluzioni del sistema considerato analiticamente. (vedi figura a destra) Per ulteriori approfondimenti ed esempi, rimando a questo link: https://www.youmath.it/lezioni/analisi-due/varie/741-insieme-di-definizione-di-funzioni-a-due-variabili.html

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Per ciò che attiene il primo punto, il procedimento è identico a quello attuato nel caso di funzioni a una variabile, quindi le condizioni da prendere in considerazioni sono le seguenti: - se ritroviamo una frazione, bisogna porre di denominatore diverso da zero; - se ritroviamo un logaritmo, dobbiamo porre l’argomento maggiore di zero; - se ritroviamo una radice con radicale pari, dobbiamo porre l’argomento maggiore-uguale a zero; - se ritroviamo un arcoseno o un arcocoseno, bisogna porre l’argomento compreso tra +1 e -1; - se nessuna delle precedenti condizioni si verifica, il dominio è tutto R. Una volta definite le condizioni, passiamo al secondo passaggio; naturalmente ci ritroveremo una quantità di equazioni e disequazioni in due variabili su cui lavorare, e per risolvere un sistema, bisogna considerare l’intersezione tra gli insiemi delle soluzioni di ciascuna di queste. Per trovare il dominio procediamo con l’interpretazione grafica: rappresentiamo il piano cartesiano e, in base al numero di condizioni ricavate dal punto precedente, rappresentiamo l’insieme delle soluzioni delle varie condizioni.

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