Come calcolare il dominio di una funzione a due variabili

Una funzione a due variabili è una legge, definita f, che ad ogni coppia di numeri x e y, i quali costituiscono le variabili indipendenti, associa ad entrambi un numero z, vale a dire la variabile dipendente. Chiunque frequenti una facoltà scientifica come ingegneria o matematica, o semplicemente il liceo scientifico, si imbatte in quest?argomento inizialmente complesso, ma che può essere facilitato attraverso spiegazioni dettagliate e molta, molta pratica. Questa guida vuole spiegare come calcolare il dominio di funzioni a due variabili, vediamo quindi il procedimento.

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Come dunque abbiamo visto, si suole definire funzione reale di due variabili reali x e y, una relazione che ha la caratteristica di associare ad ogni coppia ordinata di numeri reali (x, y) uno ed un solo numero reale z. Le variabili x ed y in questione, si dicono dunque variabili indipendenti, mentre a "z" corrisponde la variabile dipendente. Da ciò se ne evince che, se volessimo definire la funzione di due variabili, occorrerà che il dominio della stessa sia calcolato in modo da poter definire in modalità esatta tale funzione. In questi casi, succede che venga assegnata una formula matematica, del tipo z = f(x, y). Tale formula non precisa tuttavia quale sia il dominio. Tale dominio, dunque, si dovrà calcolare. Vediamo come occorre procedere per realizzare questo calcolo.

Date siffatte premesse, si può dunque procedere dicendo che il dominio di una funzione è un insieme, solitamente un sottoinsieme di R (insieme dei numeri reali), in cui ha senso valutare la funzione. Per riuscire a trovare il dominio di funzioni a due variabili, bisogna per prima cosa individuare le condizioni che consentono l?esistenza di f, le quali dipenderanno dalle funzioni elementari che definiscono sempre f; in secondo luogo, dovremo mettere a sistema le suddette condizioni per determinare il dominio. Nel prossimo paragrafo di questa guida vi illustreremo come fare.

Ipotizziamo di aver individuato tre condizioni: iniziamo col rappresentare l?insieme di soluzioni della prima condizione, e quindi disegniamo semplicemente la frontiera di quest?ultima (in questo modo, limitandoci cioè a disegnare la frontiera, il disegno apparirà meglio strutturato). Procediamo allo stesso modo con la seconda, e infine con la terza. Questa logica è valida indifferentemente dal numero di condizioni. Una volta ottenuta la rappresentazione grafica dei tre insiemi, basterà prendere l?intersezione degli stessi. Questo sarà il nostro dominio rappresentato analiticamente, cioè bisogna scrivere le soluzioni del sistema considerato analiticamente.

Per ciò che attiene al primo punto, il procedimento è identico a quello attuato nel caso di funzioni a una variabile, quindi le condizioni da prendere in considerazioni sono le seguenti: se ritroviamo una frazione, bisogna porre il denominatore diverso da zero; se ritroviamo un logaritmo, dobbiamo porre l?argomento maggiore di zero; se ritroviamo una radice con radicale pari, dobbiamo porre l?argomento maggiore-uguale a zero; se ritroviamo un arcoseno o un arcocoseno, bisogna porre l?argomento compreso tra +1 e -1; se nessuna delle precedenti condizioni si verifica, il dominio è tutto R.

Una volta definite le condizioni, passiamo al secondo passaggio: naturalmente ci ritroveremo una quantità di equazioni e disequazioni in due variabili su cui lavorare e, per risolvere un sistema, bisogna considerare l?intersezione tra gli insiemi delle soluzioni di ciascuna di queste. Per trovare il dominio, procediamo con l?interpretazione grafica: rappresentiamo il piano cartesiano e, in base al numero di condizioni ricavate dal punto precedente, rappresentiamo l?insieme delle soluzioni delle varie condizioni. In questo modo avremo descritto (anche graficamente) il dominio di una funzione a due variabili.

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